Problemas - Teoría de números
P2 OMM 1991. Soldados capicúas
Una compañía de $ n $ soldados es tal que:
- $ n $ es un número capicúa (se lee igual al derecho y al revés, como 15651, 9436349).
- Si los soldados se forman:
--de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila;
--de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila;
--de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.
a) Hallar el menor $n$ que cumple las condiciones.
b)Demostrar que hay una infinidad de valores $ n $ que las satisfacen.
P2. OMM 1989. Múltiplos encadenados
Encuentre dos números enteros $a$ y $b$ tales que:
- $b^2$ es múltiplo de $a$;
- $a^3$ es múltiplo de $b^2$;
- $b^4$ es múltiplo de $a^3$;
- $a^5$ es múltiplo de $b^4$;
- pero $b^6$ no es múltiplo de $a^5$.
P5. OMM 1988. Manipulación algebraica con el MCD
Si $a$ y $b$ son dos enteros positivos primos relativos y $ n $ es un entero, pruebe que el máximo común divisor de $a^2+b^2-nab$ y $a+b$ divide a $n+2$
P2. OMM 1988. Expresiones equiresiduales (módulo 19)
Si $a$ y $b$ son enteros positivos, pruebe que 19 divide a $11a+2b$ si y sólo si 19 divide a $18a+5b$
P7. OMM 1987. Problema clásico de cocientes de polinomios de la OMM
Demuestre que si $n$ es un entero positivo, entonces $$\frac{n^2 + n -1}{n^2 + 2n}$$ es una fracción irreducible (simplificada).
P6. OMM 1987. Divisibilidad clásico de la OMM
Demuestre que para cualquier entero positivo $n$, el número $(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es múltiplo de 3804.
P4. OMM 1987. Producto de enteros menores que 100 y con tres divisores
Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto.
P2. OMM 1987. Divisores de 20 factorial
¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! ? (20! = 1×2×3×· · ·×19×20).
Múltiplo de 1001
Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001.
Diofantina de primos
Encontrar todos los primos $p,q$ que cumplen la ecuación $p+q^2=q+145p^2$