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¿De cuántas formas se puede formar una r-lista (lista de r elementos) con n objetos etiquetados $1,2,\ldots,n$?

(Nota: se entiende que $ r $ no es mayor que $ n $, pues de otra manera ninguna lista se podría formar)

Con este post estoy inaugurando una sucesión que podría llegar hasta 20. La idea es la misma que la que usé con los GBC-teoremas, es decir, formular una serie de hechos básicos sobre el tema. En los teoremas de geometría básica del círculo me vi limitado por el formato de teorema y no añadí comentarios u otras ayudas didácticas. Es por eso que ahora, para los hechos básicos de combinatoria, elijo la entrada de blog para difundir es conocimiento básico, dada la flexibilidad de su formato.

Es un lugar común el decir "cuestión de enfoques" o "según el cristal con que se mira", etc.

Aprovechando el entusiasmo de Brandon voy a poner aquí una variante del problema 4 de la IMO 2009, desglosándolo e invirtiéndolo con la idea de reducir su complejidad. Pero antes de plantear el reto a los miembros de la preselección Tamaulipas 2009, permítaseme comentar dos o tres cosas sobre ese problema, sobre su dificultad.

Enseguida voy a desarrollar la solución de Brandon al problema 8(G) del concurso estatal. Es un desarrollo en "cámara lenta" y tiene la intención didáctica de mostrar a los novicios la complejidad que puede llegar a tener un problema de geometría de olimpiada de matemáticas.

No me había dado cuenta que los colaboradores no tenían permiso de subir imágenes al servidor de MaTeTaM. La intención original era que sí pudieran subir imágenes pero a la hora de configurar los permisos olvidamos autorizar esta opción.

Introducción

En lo que sigue voy a utilizar dos hechos muy básicos de desigualdades:
--una cantidad variable elevada al cuadrado nunca es negativa (regla de los signos)

Con referencia al problema de los Libre de cuadrados, me gustaría decir dos o tres cosas que podrían ser útiles para los novicios en concursos. El problema que planteó Jesús --y que resolvió Zzq-- sobre los libres de cuadrados, es un buen ejercicio en demostración matemática y tiene el nivel de concurso interestatal e incluso de un fácil de un nacional. (Los novicios harían bien en irse familiarizando con los usos y costumbres de la demostración matemática y es para ellos que va dedicado este post.)
 

Zzq, eres un profesional en problem solving. Las gracias te sean dadas por el contra-ejemplo-comentario al problema de Brandon --del cual espero que no vea ahí una tacha sino la retroalimentación amistosa de uno de sus iguales (o superiores, eso la verdad no importa tanto...). Porque lo que surge de esa interacción (Brandon, Zzq,y Fernando) es una chispa de conocimiento, de la cual se benefician los usuarios de MaTeTaM realmente interesados en la solución de problemas de concurso (Sadhi, por ejemplo).

El diagrama se debe considerar como una memoria externa y como una ayuda al razonamiento. El diagrama más conocido en matemáticas es tan "natural" que ya es invisible. Estoy hablando de la recta numérica para representar los números reales.