Problema 8 (Ciudades, OMM_Tam_2010)

Haciendo la multiplicacion  tenemos que 6x6=6 y llevamos 3 6Xb=6b+3.
y luego bx6=b6 entonces lo sumamos y tenemos que 6b+3+6b=12b+3=___b (un numero que termina en b) entonces como b puede ser ser un numero del 0 al 9 probamos con los numeros sustituyendo en la ecuacion 12b+3=__b y el unico que cumple es 7 porque 12(7)+3=87.

            a            b     6
        x  a            b     6

          ...       6b+3     6

+       ...           6b    

              (12b+3)     6

Entonces volvemos a hacer la multiplicacion pero ahora solo falta el valor de a; volvemos a hacer el mismo procedimiento; 6x6=6 y llevamos 3;  7x6=42+3=5 y llevamos 4 y llevamos 6xa=6a+4 ahora 7X6=42 y llevamos 4; 7x7=49+4=3 y llevamos 5; ahora ax6=6a y podriamos seguir multiplicando pero solo ocupamos esto porque es como su fuera la linea de las centenas en una multiplicación manual. Por lo tanto tenemos que 6a+4+3+6a=12a+7=__a. Hacemos lo mismo que en lo anterior y buscamos un numero. En este caso el que cumple es el 3. 12(3)+7=43. Y efectivamente (376)^2=141376

            a                 7     6
        x  a                 7     6

     6a+4                 5     6

+         3                 2    

          6a

12a+7                   7     6

PS1: Profe espero que lo entiendaa:S jaaj se supone que las operaciones que puse son una especie de multiplicacion. como la que se hace a mano.

PS2.  Puede decirme un metodo maas facil. y
Saludooos

Hola de nuevo Sadhi, tu método es el más fácil (eso creo) sólo hay que mantener el significado de las operaciones en el algoritmo de la multiplicación...

Después lo edito y lo pongo... pero por lo pronto es correcta tu respuesta... por ejemplo, 12b+3 debe terminar en b... y entonces das valores a b hasta llegar al único dígito que cumple que es el 7...

Creo que en Victoria nadie lo resolvió...

Te saluda

jmd

PD: felicidades de nuevo por tu regreso a la olimpiada... me imagino que obtuviste más de 35 puntos según lo que veo...

Buenas tardes maestro muñoz...

Bueno pues yo el problema lo hice de la siguiente manera aunque no se si este bien demostrado: ab6= 100a+10b+6, por lo que(ab6)^2 =

(100a+10b+6)^2=10000a^2+100b^2+36+2000ab+1200a+120b

Utilice congruencias modulo 1000,por lo tanto:(ab6)^2 es congruente con ab6(mod 1000)

restando congruencias:

10 000a^2+100b^2+30+2000ab+1100a+110b es congruente con 0(mod 1000)

10(1 000a^2+10b^2+3+200ab+110a+11b es congruente con 0(mod 1000)      

por lo que:

1 000a^2+10b^2+3+200ab+110a+11b es congruente con 0(mod 100)

pero:

1 000a^2 es congruente con 0(mod 100) (porque 1000 es multiplo de 100)

200ab es congruente con 0(mod 100)   (porque 200 es multiplo de 100)

110a es congruente con 10a(mod 100)

por lo que solo me queda:

10b^2+3+10a+11b congruente con 0(mod 100)                                                 

10b^2 congruente con 0(mod 10) 

10a congruente con 0(mod 10) 

11b congruente con b(mod 10) 

asi que nos queda:

3+b congruente con 0(mod 10)

desde aqui vemos que b=7 es el numero que cumple con lo anterior

nos regresamos a la congruencia:

10b^2+3+10a+11b congruente con 0(mod 100)    

sustituyo el 7

490+3+10a+77 congruente con 0(mod 100)

570+10a congruente con 0(mod 100)

por lo que a=3 porque:

570+10(3) congruente con 0(mod 100)

600 congruente con 0(mod 100)

POR LO QUE a=3, b=7.

ab6=376

376 al cuadrado = 141 376, cumple con lo anterior.

saludos.

Att. Luis german Diaz Zuñiga

CBTis 105

Gracias por la colaboración Germán. Pues este es el otro método por el que preguntaba Sadhi. No sé si más fácil pero es otro... y está correctamente demostrado.

Te saluda

jmd

Te pasas German... haha $(9376)^2=...9376$ hahaha este... de hecho todo numero terminado en 76... al elevarlo al cuadrado termina en 76 xD