La magia de los números primos

Versión para impresión
Su voto: Ninguno Media: 4 (2 votos)

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos que satisfacen $ ab = cd$ . Muestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.




Imagen de jesus

Aunque se trata de un

Aunque se trata de un problema sencillo, me parece muy interesante ya que combina álgebra con teoría de los números. Mi solución va así:

Evidentemente $c$ divide a $ab$, por lo que $c=\alpha \beta$ tal que $\alpha | a$ y $\beta | b$, entonces $d = ab/c = (a/\alpha)(b/\beta)$.

Sustituyendo los valores de c y d: $$a + b+c+d = a + b + \alpha \beta + \frac{a}{\alpha}\frac{b}{\beta} = (\frac{a}{\alpha} + \beta)(\frac{b}{\beta} + \alpha)$$

Como cada factor es mayor a 1, se sigue que $a+b+c+d$ no es primo.

Lo que me intriga es, ¿dónde está la mágia de los números primos?

Saludos

Imagen de German Puga

Este problema es de mis

Este problema es de mis favoritos, y es que tiene algo ''raro'' ya que cuando yo lo hice por primera vez, y después que me ha tocado proponerselo a varias chicos, no hemos podido hacer lo hiciste tú Jesús, esta parte de la existencia de $ \alpha$ y $\beta$, y bueno la verdad no sé porque sucedio eso jaja creo que es por que al principio cambiar de ideas de números a ideas de álgebra lo vuelve complicado.

La solución que yo contemplaba concluye con ''Si a+b+c+d fuera primo entonces..." apela a una propiedad bien conocida y que solo sucede con los números primos, pero es una solución bien oscura, definitivamente ahora que proponga este problema también mostraré tu solución, si me lo permites.

Saludos

germán