¿Cuál fórmula? ¡Genera la lista!

Enviado por jmd el 1 de Junio de 2014 - 07:55.
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1.C. ¿Cuántos números del 10 al 99 son tales que sus dígitos están en orden decreciente? Nota: 31 cumple pero no el 44 ni el 56.

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(El problema se puede

Enviado por jmd el 1 de Junio de 2014 - 11:19.
(El problema se puede resolver por fuerza bruta generando la lista de números que cumple la condición. Son 45. Esto es lo que lo hace casi trivial.)  
 
Pero,  pesar de ser trivial, hubo 16 participantes que no lo resolvieron (¿de qué otra manera se explica que obtuvieran menos de 7?).  
 
¿Razones? Bueno, no es posible saber las razones pero puedo conjeturar dos posibles. 1) No entendieron el enunciado y/o 2) si lo entendieron no recordaron ninguna fórmula que se aplicara al caso y se asustaron y abandonaron.
 
Pero sin importar cuáles hayan sido las razones de ese fracaso lo que quiero comentar aquí es que sí hay una fórmula (o procedimiento) teórica de resolverlo: se llama principio aditivo (o estrategia de clasificación). Y bueno también se tiene que aplicar algo de razonamiento. Enseguida el procedimiento:
 
1. Los números pedidos se pueden clasificar de acuerdo al dígito inicial. Son 9 clases (la clase i contiene los números que inician con el dígito i).
2. La clase i contiene los números cuyo segundo dígito es uno de los menores que i (incluyendo el 0). Así que contiene i elementos.
3. Pero i=1,2,...,9.
4. De aquí que los números buscados son tantos como 1+2+...+9=45.
 
¿No es maravilloso amigos?
 
Ejercicio: ¿Cuántos del 100 al 999 cumplen la condición del problema? (Aquí ya no es tan fácil apicar fuerza bruta.)
 
Los saluda
 
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Son (10 3)-45=75 (donde (10

Enviado por GovernmentCheeseAhoy el 4 de Noviembre de 2016 - 15:42.

Son (10 3)-45=75 (donde (10 3) es un coeficiente binomial) naturales entre 100 y 999 que cumplen con la condición, ya que cualquier combinación sin repetición de 10 en 3 se puede ordenar de exactamente una forma para generar un natural cuyas cifras estén en orden estrictamente creciente.

Saludos.

Nos vemos en el nacional.

 

 

LEÍ MAL EL PROBLEMA. ESTA SOLUCIÓN NO ES VÁLIDA.

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Disculpa, ¿por qué restaste

Enviado por jesus el 4 de Noviembre de 2016 - 14:03.

Disculpa, ¿por qué restaste 45? Me parece que esa parte no es necesaria, seleccionas 3 dígitos y los ordenas, eso debería darte un número del 100 al 999 que tiene su dígitos en orden decreciente, no veo que estemos contando doble vez a nadie. En total $$ \binom{10}{3} = 120$$

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Tienes razón, leí el problema

Enviado por GovernmentCheeseAhoy el 4 de Noviembre de 2016 - 15:41.

Tienes razón, leí el problema como dígitos en orden creciente :D

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