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Olimpiada Mexicana de Matemáticas, Del. Tam. 2009 (Resultados del tercer examen selectivo)
El cuarto examen selectivo para la preselección Tamaulipas 2009 de la XXIII Olimpiada Mexicana de Matemáticas se realizó el sábado 12 de septiembre en las instalaciones de la UAMCEH-UAT, en Cd Victoria. Los resultados son los siguientes. (Representarán a Tamaulipas en la IX Olimpiada Norestense los primeros 16.)
¿Cómo lograr más con menos?
Del conjunto de números $\{1,2,...,99,100\}$ se eligen 50. Si la suma de los números elegidos es 2900, calcular el número mínimo de números pares entre los 50 elegidos.
Baldor debería saberlo...
El producto N de tres números enteros positivos es 6 veces la suma de tales números, y uno de los enteros es la suma de los otros dos. Calcular la suma de todos los valores posibles de N.
¿Trazo auxiliar? OK Pero... ¿cómo lo descubres?
En un triángulo isósceles AOB, rectángulo en O, se eligen los puntos P,Q,S en los lados OB,OA,AB, respectivamente, y un punto R interior al triángulo, de tal manera que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado. Si la razón de áreas entre el cuadrado y el triángulo es 2/5, calcular la razón OP/OQ.
Una propiedad de dos primos
Si $ p $ y $ q $ son primos, entonces $p^{q-1}+q^{p-1}-1$ es múltiplo de $pq$
Primos y menores
Sea $ p $ un primo y $ r $ un entero positivo. ¿Cuántos enteros positivos menores que $p^r$ son primos con $p^r$?
Olimpiada Mexicana de Matemáticas (Del. Tam. 2009): Recordatorio
El viernes 11 de septiembre inicia el entrenamiento a las 4pm, continua el sábado a las 9am con un examen selectivo y en la tarde con la discusión de los problemas del selectivo (El domingo no hay entrenamiento.)
Autoinversos respecto a un módulo
Sea $p$ un primo, $a$ un elemento de $\{1,2,3,...,p-1\}$ y $a$ tal que $a^2\equiv 1 \pmod {p}$. Encontrar los posibles valores de $a$.
Sin Euler estaríamos perdidos
Encontrar las tres últimas cifras de $2009^{9999}$ (argumento fiador requerido).
El PTF lo resuelve --si le piensas un poquito...
Encontrar todos los primos $q$ tales que $4+2^q$ es múltiplo de $2q.$
