Básico

Problemas de nivel pre-estatal.
Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 3

Juan tiene que llevar una ficha desde la esquina A hasta la esquina B, moviéndola por las líneas de la cuadrícula del tablero. La ficha puede moverse hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda (la ficha puede pasar varias veces por el mismo punto). Cada vez que la ficha se mueve en sentido horizontal, Juan anota el número de la columna por la que atraviesa. Cuando la ficha finalmente llega a la esquina B, Juan multiplica todos los números que anotó. Encuentra todos los caminos donde el producto de los números anotados por Juan es 8640. Justifica tu respuesta.

 
Problema

Problema 1, regional 2008

La suma de las áreas de dos cuadrados es 400, y el lado de uno mide 3/4 del lado del otro.

a) ¿Cuánto mide el lado de cada uno de los cuadrados?

b) ¿Cuánto medirían si la suma de las áreas fuese 800?

 
Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 6

En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.

 
Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema5

Hay que escribir una fila de 20 dígitos de manera que la suma de tres dígitos consecutivos de la fila sea siempre múltiplo de 5. ¿Cuál es la máxima cantidad de dígitos distintos que puede haber en la filal.

 
Problema

ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 1

Se tiene un cubo con las seis caras de diferente color y deseamos colocar los números del 1 al 6 en las caras del cubo (uno en cada cara). ¿De cuántas formas podemos realizar el acomodo, si deseamos que la suma de los números que están en caras opuestas sea 7?

 
Problema

ONMAS 2008, Nivel 1, Problema 2

Sean G una circunferencia de centro O y G’ una circunferencia que pasa por O. Sean A y B los puntos en que G interseca a G’ y escojamos un punto C en G’ distinto de A y B. Tracemos las líneas AC y BC y llamemos D y E a los puntos donde estas líneas cortan a G, respectivamente. Demuestra que AE es paralela a DB.

 
Problema

Teorema de Pitágoras

Un triángulo de lados $a, b, c$, con $c > a, b$ es triángulo rectángulo sí y sólo si $c^2 = a^2 + b^2$.

 
Problema

Soluciones de una cuadrática

Sean $x_1$ y $x_2$ dos soluciones distintas de la ecuación cuadrática:

$Ax^2+Bx+C=0$

Demuestra que $$ (x_1-x_2)^2 = \frac{(B/2)^2 -AC}{A^2} $$

 
Problema

Hagamos un trato (Let's make a deal –The Monty Hall Paradox)

Suponga que en un show de la televisión usted está participando y el animador le da a elegir tres puertas: lo que hay detrás de la elegida es suyo. Detrás de una de ellas está un auto nuevo, detrás de las otras dos una chiva. Imagine que usted elige una de las puertas, digamos la 1, y en ese momento (antes de abrirla) el conductor, quien sabe qué hay detras de cada puerta, abre una de las dos restantes, digamos la 3, y resulta que ahí hay una chiva. A continuación te pregunta “¿deseas cambiar tu elección (abrir la puerta 2)?”

¿Te conviene cambiar?