Problemas - Álgebra
Problema 1, IMO 2010
Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $$f(\lfloor x \rfloor y)= f(x) \lfloor f(y) \rfloor$$ para todos los números $x, y \in \mathbb{R}$. ($\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $z$.)
Chicas Fresa en Palacio
Las chicas fresa andan en Palacio de Hierro (sólo les faltan los lentes para irse de vacaciones a Los Cabos):
K: "¿Ya vieron? ¡Qué looser! ¡Son piratas! Nada que ver conmigo, yo quiero unos Carrera, Champion como los de Lady Gaga".
P4 OMM 2000. Número de primos hasta el primer compuesto
Para $a$ y $b$ enteros positivos, no divisibles entre $5$, se construye una lista de números como sigue:
- El primer número es 5 y,
- a partir del segundo, cada número se obtiene multiplicando el número que le precede (en la lista) por $a$, y sumándole $b$.
(Por ejemplo, si $a = 2$ y $b = 4$, entonces los primeros tres números de la
lista serán: 5, 14, 32 (pues $14 = 5\cdot2 + 4$ y $32 = 14\cdot2 + 4$.)
¿Cuál es la cantidad máxima de primos que se pueden obtener en la lista antes de obtener el primer número no primo?
P3 OMM 2000. Regla aditiva --de formación de un conjunto
Dado un conjunto $A$ de enteros positivos, construimos el conjunto $A'$ poniendo todos los elementos de $A$ y todos los enteros positivos que se pueden obtener de la siguiente manera:
- Se escogen algunos elementos de $A$, sin repetir, y a cada uno de esos números se le pone el signo $+$ o el signo $-$;
- luego se suman esos números con signo, y el resultado se pone en $A'$.
Por ejemplo, si $A = {2, 8, 13, 20}$, entonces algunos elementos de $A'$ son 8 y 14 (pues 8 es elemento de $A$, y 14 = 20+2-8).
P2 OMM 2000. Triángulo de números --con regla simple de formación
Se construye un triángulo como el de la figura, pero empezando con los números del 1 al 2000.
P4 OMM 1998. Sumas de dígitos inversos (\times un dígito)
Encuentre todos los enteros que se escriben como $$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\ldots+\frac{9}{a_9}$$ donde $a_1, a_2, \ldots , a_9$ son dígitos distintos de cero que pueden repetir.
P1 OMM 1998. Números suertudos
Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que $1900 \rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1$. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.
P6 OMM 1997. Un quinto más suma de fracciones
Pruebe que el número 1 se puede escribir de una infinidad de maneras distintas en la forma $$1 = \frac{1}{5} + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}$$ donde $ n $ y $a_1, a_2, \ldots , a_n$ son enteros positivos y $5 <a_1< a_2 <\ldots <a_n$
P5 OMM 1996. Recorre los cuadros y suma sus números
En una cuadrícula de $n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en el orden habitual (de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Como ejemplo se ilustra el caso $n = 3$: $$1 ~2 ~3$$ $$4 ~5 ~6$$ $$7 ~8 ~9$$
Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de un cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el $n^2$, de tal manera que en cada paso el movimiento sea hacia la derecha o hacia abajo. Si $C$ es un camino, denotamos por $L(C)$ a la suma de los números por los que pasa el camino $C$.
P4 OMM 1995. Con 26 sí, con 27 no
a) Encuentra un subconjunto $B$ del conjunto $A = \{1, 2, 3, \ldots, 40\}$, de manera que $B$ tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de $B$ sea un cuadrado perfecto.
b) Demuestra que no se puede obtener un subconjunto de $A$ de 27 elementos con la característica mencionada en el inciso anterior.