II OIM 1987

Problemas de la II Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas de 1987
Problema

Puntos en lados opuestos de un cuadrilátero

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 19:59.

 Sean $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo, y $P$ y $Q$ puntos de $AD$ y $BC$, respectivamente, tales que
$$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BQ}{QC}$$
Demuestre que los ángulos que forma la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $DC$ son iguales.

Problema

Raíces de una ecuación cúbica

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 19:39.

 Si $r, s$ y $t$ son las raíces de la ecuación $$x(x-2)(3x-7)=2$$
a) Demuestre que $r,s$ y $t$ son positivos.
b) Calcule $\arctan{r}+\arctan{s}+\arctan{t}$

Problema

El truco es conjugar

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 19:31.

 Pruebe que si $m, n, r$ son enteros positivos, no nulos, y $$1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2r-1}$$, entonces $m$ es un cuadrado perfecto.

Problema

Una condición de isósceles

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 19:08.

 En un triángulo $ABC$, $M$ y $N$ son los puntos medios respectivos de los lados $AC$ y $AB$, y $P$ el punto medio de intersección de $BM$ y $CN$. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero $ANPM$, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.

Problema

Funciones que cumplen ecuación

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 19:05.

 Encontrar las funciones $f(x)$ tales que cumplen la ecuación $$[f(x)]^2[f(1-x)/(1+x)]=64x$$ para $x\neq0,x\neq1,x\neq-1$

 

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 1987)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 05:07.

Se define la sucesión $p_n$ de la siguiente manera: $p_1=2$ y, para $n\geq2$, $p_n$ es el mayor divisor primo de $p_1p_2\ldots p_{n-1}+1$. Demostrar que $p_n$ es diferente de 5.

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