IMO 2009 Problema 4
Enviado por Luis Brandon el 20 de Julio de 2009 - 10:44.
En un triángulo 
, donde 
, los bisectrices internas de 
y 
cortan a los lados 
y 
en 
y 
, respectivamente. Sea 
el incentro del triángulo 
. Supongamos que 
. Encontrar todos los valores posibles de .
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Comentarios
#1 En este problema use los
En este problema use los criterios que vimos en el primer entrenamiento para demostrar los cuadro puntos conciclicos y lo del cuadrilatero circunscrito, los cuales no se ven claros pero obserbando detalladamente la solucion que doy se podria llegar a entender, la parte del cuadrilatero inscrito se debe a que JF=JD, y CF=CD por consiguiente JF+CD=JD+CF...lo recuerdan?
saludos!!!!!
#2 Muy bonita solución, clara y
Muy bonita solución, clara y elegante. Inlcuso me parece muy astuta tu división en casos.
Sólo un detalle, creo que está mal esta parte:
La simetría de la hablas es cierta sin importar que
sea igual a 
, gracias a que 
es igual a 
. Por lo que, no se puede inferir que el triángulo es equilátero a partir de la simetria.
Bueno, esa es mi única observación, saludos y vas muy bien. ¡Ya tienes a la geometría dominada!.
P.D. Mira, ya puse la solución al problema de Producto de diagonales en un polígono regular. A ver qué te parece.
Jesús Rodríguez Viorato
#3 Tienes razon, pero en el caso
Tienes razon, pero en el caso donde los dos puntos son iguales si se tiene que el triangulo es equilatero, una nueva figura y el resultado es claro, pero si, no se puede inferir de dicha simetria, por otro lado, esos dos angulos 60 y 90 son clasicos asi que al hacer mi figura la realize con dichos angulos (ya suponia que eran esos, ya que en casi todos los problemas que e realizado de busqueda de angulos terminan siendo esos) yo creo y mañana pongo la solucion del problema 2 de la IMO(tambien de geometria), al parecer los problemas de geometria de este año estaban mas sencillos que los del concurso pasado. Saludos Jesus!!!
#4 Jesus ya corregi lo de la
Jesus ya corregi lo de la simetria!!!!!saludos!!!!
#5 Sí, muy bien. Ya lo ví, está
Sí, muy bien. Ya lo ví, está muy bien.
Jesús Rodríguez Viorato
#6 oye, brandon tengo dudas en
oye, brandon tengo dudas en tu solucion ...cuando dices qe sean PQ los puntos de tangencia del incircirculo del triangulo ADC con AC y AD, respectivamente... en la figura Q no es tangente con el segmento AD y lo otro que no logro ver es que IPEQ es un cuadrado ... bueno, alomejor lo que paso es que las letras difieren a lo que dice el enunciado con lo cual esto si se cumpliría... bueno a ver si me puedes aclarar porfa :)
#7 Si habia un error de
Si habia un error de recadccion, pero ya lo arregle, de todas formas, si hay duda en algun punto solo ve la figura para qu veas donde esta dicho punto, pero no creo que ahora aya problemas. Saludos!!!!!