Problemas - Teoría de números
Función de un primo con 6 divisores
Encontrar todos los números primos $p$ para los cuales el número $p^2+11$ tiene exactamente 6 divisores positivos (el 1 y el número incluidos).
Soluciones enteras bajo condición de divisibilidad
Encontrar, con prueba, todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos tales que $ab^2+b+7$ divide a $a^2b+a+b$
Cuadrado perfecto de cuatro cifras
Sea $m$ un cuadrado perfecto de cuatro cifras menores que 9. Sumando una unidad a cada una de las cifras de $m$ se forma otro cuadrado perfecto. Encontrar $m$.
La factorización prima es única
Encontrar todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $2^x+1=y^2$
Diez consecutivos son divisores --pero no 11
Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$, hay 10 números consecutivos, pero no 11.
La arista es el MCD de sus vértices
En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno
en cada vértice. Y en cada una de las aristas está escrito el máximo común
divisor de los números que están en los 2 vértices que la forman. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.
- (a) Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$.
- (b) ¿Es posible que $A = V$?
Expresado como suma de potencias --de sus primeros dos divisores
Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.
P1 OMM 2006. Los parientes de un número son sus múltiplos
Sea $ab$ un número de dos dígitos. Un entero positivo $ n $ es “pariente” de $ab$ si:
- El dígito de las unidades de $n$ también es $b$.
- Los otros dígitos de $n$ son distintos de cero y suman $a$.
Por ejemplo, los parientes de 31 son 31, 121, 211 y 1111. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes .
P3 OMM 2005. Infinidad de enteros en sucesión de fracciones
Determina todas las parejas $(a,b)$ de enteros distintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero positivo $x$ primo relativo con $b$ y un entero cualquiera $y$, tales que en la siguiente lista hay una infinidad de números enteros:
$$\frac{a+xy}{b},\frac{a+xy^2}{b^2},\frac{a+xy^3}{b^3},\ldots,\frac{a+xy^n}{b^n},\ldots$$
P5 OMM 2002. Ternas compatibles
Tres enteros distintos forman una terna compatible si alguno de ellos, digamos $ n $, cumple que cada uno de los otros dos es, o bien divisor, o bien múltiplo de $ n $. Para cada terna compatible de números entre 1 y 2002 se calcula la suma de los tres números de la terna. ¿Cuál es la mayor suma obtenida? ¿Cuáles son las ternas en las que se obtiene la suma máxima?