Problemas - Teoría de números
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2008)
Demuestra que no existen enteros positivos $x,y$ tales que $x^{2008}+2008!=21^y$
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2004)
Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a,b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a+b$ y $201a+b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Olimpiada Iberoamericana (el 5 de 1985)
A cada número natural n se le asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfacen las siguientes condiciones:
- (i) $f(rs)=f(r)+f(s)$
- (ii) $f(n)=0$, si el dígito de las unidades de n es 3
- (iii) $f(10)=0$
Hallar $f(1985)$
Olimpiada Iberoamericana (el 1 de 1999)
Halla todos los enteros positivos que son menores que 1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 1987)
Se define la sucesión $p_n$ de la siguiente manera: $p_1=2$ y, para $n\geq2$, $p_n$ es el mayor divisor primo de $p_1p_2\ldots p_{n-1}+1$. Demostrar que $p_n$ es diferente de 5.
Baldor debería saberlo...
El producto N de tres números enteros positivos es 6 veces la suma de tales números, y uno de los enteros es la suma de los otros dos. Calcular la suma de todos los valores posibles de N.
Una propiedad de dos primos
Si $ p $ y $ q $ son primos, entonces $p^{q-1}+q^{p-1}-1$ es múltiplo de $pq$
Primos y menores
Sea $ p $ un primo y $ r $ un entero positivo. ¿Cuántos enteros positivos menores que $p^r$ son primos con $p^r$?
Autoinversos respecto a un módulo
Sea $p$ un primo, $a$ un elemento de $\{1,2,3,...,p-1\}$ y $a$ tal que $a^2\equiv 1 \pmod {p}$. Encontrar los posibles valores de $a$.
Sin Euler estaríamos perdidos
Encontrar las tres últimas cifras de $2009^{9999}$ (argumento fiador requerido).