Problemas - Teoría de números

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2008)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 08:08.

Demuestra que no existen enteros positivos $x,y$ tales que $x^{2008}+2008!=21^y$

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2004)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 05:53.

Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a,b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a+b$ y $201a+b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 5 de 1985)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 05:43.

A cada número natural n se le asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfacen las siguientes condiciones:

  • (i) $f(rs)=f(r)+f(s)$
  • (ii) $f(n)=0$, si el dígito de las unidades de n es 3
  • (iii) $f(10)=0$

 

Hallar $f(1985)$

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 1 de 1999)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 05:31.

Halla todos los enteros positivos que son menores que 1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.

Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 1987)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 05:07.

Se define la sucesión $p_n$ de la siguiente manera: $p_1=2$ y, para $n\geq2$, $p_n$ es el mayor divisor primo de $p_1p_2\ldots p_{n-1}+1$. Demostrar que $p_n$ es diferente de 5.

Problema

Baldor debería saberlo...

Enviado por jmd el 13 de Septiembre de 2009 - 08:44.

El producto N de tres números enteros positivos es 6 veces la suma de tales números, y uno de los enteros es la suma de los otros dos. Calcular la suma de todos los valores posibles de N.

Problema

Una propiedad de dos primos

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2009 - 04:34.

Si $ p $ y $ q $ son primos, entonces $p^{q-1}+q^{p-1}-1$ es múltiplo de $pq$

Problema

Primos y menores

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2009 - 04:28.

Sea $ p $ un primo y $ r $ un entero positivo. ¿Cuántos enteros positivos menores que $p^r$ son primos con $p^r$?

Problema

Autoinversos respecto a un módulo

Enviado por jmd el 10 de Septiembre de 2009 - 07:39.

Sea $p$ un primo, $a$ un elemento de $\{1,2,3,...,p-1\}$ y $a$ tal que $a^2\equiv 1 \pmod {p}$. Encontrar los posibles valores de $a$.

Problema

Sin Euler estaríamos perdidos

Enviado por jmd el 9 de Septiembre de 2009 - 10:30.

Encontrar las tres últimas cifras de $2009^{9999}$ (argumento fiador requerido).