Problemas - Teoría de números
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 2)
Para cada entero positivo n se define an=n+m, donde m es el mayor entero tal que 22m≤n2n. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión an.
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2008)
Demuestra que no existen enteros positivos x,y tales que x2008+2008!=21y
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 2004)
Determinar todas las parejas (a,b), donde a,b son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que 100a+b y 201a+b son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Olimpiada Iberoamericana (el 5 de 1985)
A cada número natural n se le asigna un entero no negativo f(n) de tal manera que se satisfacen las siguientes condiciones:
- (i) f(rs)=f(r)+f(s)
- (ii) f(n)=0, si el dígito de las unidades de n es 3
- (iii) f(10)=0
Hallar f(1985)
Olimpiada Iberoamericana (el 1 de 1999)
Halla todos los enteros positivos que son menores que 1000 y cumplen con la siguiente condición: el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.
Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 1987)
Se define la sucesión pn de la siguiente manera: p1=2 y, para n≥2, pn es el mayor divisor primo de p1p2…pn−1+1. Demostrar que pn es diferente de 5.
Baldor debería saberlo...
El producto N de tres números enteros positivos es 6 veces la suma de tales números, y uno de los enteros es la suma de los otros dos. Calcular la suma de todos los valores posibles de N.
Una propiedad de dos primos
Si p y q son primos, entonces pq−1+qp−1−1 es múltiplo de pq
Primos y menores
Sea p un primo y r un entero positivo. ¿Cuántos enteros positivos menores que pr son primos con pr?
Autoinversos respecto a un módulo
Sea p un primo, a un elemento de {1,2,3,...,p−1} y a tal que a2≡1(modp). Encontrar los posibles valores de a.