Teorema fundamental de la proporcionalidad (Tales)

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Si una recta paralela al lado $BC$ del triángulo $ABC$ corta  en $B'$ a $AB$ y en $C'$ a $AC$), entonces $$\frac{AB}{AB'}=\frac{AC}{AC'}=\frac{BC}{B'C'}$$

Este es el Teorema de Tales para triángulos del cual hemos hablado ya en MaTeTaM. En esta oportunidad comentaré el teorema particularizado para triángulos rectángulos y lo demostraré con el método de áreas.

Tales para triángulo rectángulo

Para demostrar el teorema de Tales (el que está en la base del razonamiento proporcional más básico) se puede utilizar el método de áreas. Ya en otra ocasión hemos presentado este método, pero puede que este post redundante sea de alguna utilidad para los novicios en matemáticas de concurso --dado que presenta al mismo tiempo la lógica del método de áreas con un problema elemental.

Presentaré primero un problema de ENLACE 2008

Dos cuadrados de lados 3 y 6 se yuxtaponen formando un escalón. Se traza el segmento que une la esquina inferior izquierda del cuadrado menor con la esquina superior derecha del cuadrado mayor como se muestra en la figura. Calcular el área del triángulo sombreado.

Solución

Razonando proporcionalmente es fácil ver que la altura $h$ del triángulo sombreado es de 2 unidades (3/9=h/6). De aquí que el área buscada sea de 3 unidades cuadradas.

(En otras palabras, el razonamiento proporcional sería así: si en 9 sube 6 entonces en 3 sube 2 (pues cada 3 sube 2). Elemental ¿no es cierto? Pues sí pero...)

Según creo, es dudoso que el razonamiento proporcional sea tan natural como se cree. Lo dudo porque en una sesión de entrenamiento en resolución de problemas, uno de mis alumnos "resolvió" el problema diciendo que la altura es 3 ("porque la linea inclinada pasa por la mitad") y por tanto la respuesta es 4.5 unidades cuadradas.  Y cuando la interrogué sobre cómo sabía que pasaba por la mitad de dijo: "ese problema lo resolvió el profe en el pizarrón y así le hizo". (Ese dato adicional explicaba la seguridad con que mi alumna procedió.)

Para evitar el razonamiento proporcional el problema se puede resolver calculando el área del triángulo grande de dos formas: con la fórmula directa y como la suma de las áreas del triángulo sombreado y el trapecio. De esta manera (y considerando el doble de las áreas) se tendría la ecuación $$9\cdot{6}=3h+(h+6)6$$
Y se obtiene $h=2$. De ahí el resultado.
 

Este problema de ENLACE se puede considerar una variante del que resolvió Tales de Mileto. Según la leyenda, Tales calculó la altura de la pirámide de Keops sin realmente medirla. Y se puede conjeturar que calculó la altura de la pirámide gracias a un teorema que ya había demostrado en su laboratorio hogareño. 

Particularización al triángulo rectángulo

Una recta paralela al cateto $BC$ del triángulo $ABC$ rectángulo en $B$ corta a la hipotenusa en $D$ y al otro cateto en $E$. Demostrar que $$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{DE}$$

Demostración (por el método de áreas)

Vamos a calcular el área del triángulo $ABC$ de dos formas (lo cual establecerá una ecuación). El doble del área de $ABC$ es $AB\cdot{BC}$. Pero también es igual a la suma de las áreas (duplicadas) del triángulo $AED$ y el trapecio $BCDE$. Por tanto

$$AB\cdot{BC}=AE\cdot{ED}+(DE+BC)\cdot{EB}$$
$$(AB-EB)\cdot{BC}=(AE+EB)\cdot{ED}$$

Y se tiene el resultado que usó Tales para medir indirectamente la altura de la pirámide: $$\frac{AB}{AE}=\frac{BC}{ED}$$

Los saluda

jmd

PD: Hay varias versiones sobre cómo calculó Tales la altura. Una de ellas dice que Tales se paró en el punto $E$ de tal manera que su sombra $AE$ terminaba exactamente en $A$, justamente donde terminaba la sombra $AB$ de la pirámide $BC$. Y aplicó el teorema. (Queda la duda operativa de cómo le hizo para medir la sombra desde $A$ al centro $B$ de la pirámide. Pero bueno, en principio, el problema quedaba resuelto --la medida de su sombra y de su altura son factibles de lograr con cinta.)

PD1: Otra versión de la leyenda cuenta que Tales esperó a que su sombra fuese igual a su altura y, de acuerdo a su teorema, la altura de la pirámide mediría lo mismo que su sombra. Mucho más fácil. Pero de cualquier manera queda la incógnita de cómo midió la longitud de la sombra de la pirámide.

PD2: Una buena actividad didáctica en la línea de las reformas educativas es poner a los alumnos a calcular (con Tales) la altura de la torre X de la localidad y subir a Youtube un video de las acciones que realizaron. (Se van a tardar posiblemente una semana pero...) 

PD3: Un conocimiento se convierte en natural (para tí) cuando ya lo has aplicado muchas veces. Antes de esas múltiples prácticas es totalmente alienígena.