Avanzado

Sean $C_1$ una circunferencia, $AB$ uno de sus diámetros, $t$ su tangente en $B$, y $M$ un punto de $C_1$ distinto de $A$. Se construye una circunferencia $C_2$ tangente a $C_1$ en $M$ y a la recta $t$.

• a) Determinar el punto $P$ de tangencia de $t$ y $C_2$ y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias al variar $M$.
• b) Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias $C_2$.

NOTA: Dos circunferencias son ortogonales si se cortan y las tangentes respectivas en los puntos de intersección son perpendiculares.

Sea $f(x) = (x + b)^2 - c$, un polinomio con $b$ y $c$ números enteros.

• a) Si $p$ es un número primo tal que $p$ divide a $c$ y $p^2$ no divide a $c$, demostrar que, cualquiera que sea el número entero $n$, $p^2$ no divide a $f(n)$.
• b) Sea $q$ un número primo, distinto de 2, que divide a $c$. Si $q$ divide a $f(n)$ para algún número entero $n$, demostrar que para cada entero positivo $r$ existe un número entero $n'$ tal que $q^r$ divide a $f(n')$.

Sea $f$ una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:

• (I) Si $n = 2^j -1$, para $n = 0, 1, 2,\ldots$, entonces $f(n)=0$
• (II) Si $n\neq 2^j-1, para n = 0, 1, 2,\ldots, entonces $f(n+1) = f(n) -1$.

a) Demostrar que para todo entero $n$, mayor o igual que cero, existe un entero $k$, mayor que cero, tal que $f(n)+n= 2^k - 1$
b) Calcular $f (2^{1990})$

 Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación
2x^2 - 3x = 3y^2: $$2x^2 -3x + 1 =3y^2 + y$$

Sea la función $f$ definida sobre el conjunto $\{1, 2, 3,\ldots\}$ tal que
$$f(1) = 1$$
$$f(2n + 1) = f(2n) +1$$
$$f(2n) = 3f(n)$$
Determinar el conjunto de valores que toma $f$

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$, es tangente a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$, respectivamente. Las bisectrices de $A$ y $B$ intersecan a $MN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Sea $O$ el incentro del triángulo $ABC$. Probar que $MP\cdot OA = BC\cdot OQ$

Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que:
$$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b´c}+\frac{c-a}{ca}|<\frac{1}{16}$$

Sean $x, y, z$ tres números reales tales que $0 < x < y < z < \pi/2$. Demostrar la desigualdad:
$$\pi/2 + 2\sin x\cos y + 2\sin y \cos z\gt \sin 2x + \sin 2y + \sin 2z$$

Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de
ecuaciones siguiente:
\begin{eqnarray*}
x + y - z &=& -1\\
x^2 - y^2 + z^2 &=& 1\\
-x^3 + y^3 + z^3 &=& -1
\end{eqnarray*}

Considere los conjuntos de $n$ números naturales diferentes de cero en los cuales no hay tres elementos en progresión aritmética. Demuestre que, en uno de esos conjuntos, la suma de los inversos de sus elementos es máximo.