Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

¿Cómo se calcula la longitud de una ceviana?

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:54.

Sea $ABC$ un triángulo cuyos lados son $a, b, c$. Se divide cada lado del triángulo en "n" segmentos iguales. Sea $S$ la suma de los cuadrados de las distancias de cada vértice a cada uno de los puntos de división del lado opuesto distintos de los vértices. Demuestre que $$\frac{S}{a^2+b^2+c^2}$$ es un número racional.

 

Problema

¿Cómo se definía elipse?

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:53.

Demuestre que entre todos los triángulos cuyos vértices distan 3, 5 y 7, de un punto
dado P, el que tiene mayor perímetro admite a $P$ como su incentro.

 

Problema

Seis naturales no nulos

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:50.

Sean $a,b,c,d,p$ y $q$ números naturales no nulos que verifican $ad - bc = 1$, y $$\frac{a}{b}\gt \frac{p}{q}\gt \frac{c}{d}$$
Demostrar que

  • $q\geq b+d$
  • Si $q=b+d$ entonces $p=a+c$

 

Problema

Puntos en lados opuestos de un cuadrilátero

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 20:59.

 Sean $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo, y $P$ y $Q$ puntos de $AD$ y $BC$, respectivamente, tales que
$$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BQ}{QC}$$
Demuestre que los ángulos que forma la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $DC$ son iguales.

Problema

Raíces de una ecuación cúbica

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 20:39.

 Si $r, s$ y $t$ son las raíces de la ecuación $$x(x-2)(3x-7)=2$$
a) Demuestre que $r,s$ y $t$ son positivos.
b) Calcule $\arctan{r}+\arctan{s}+\arctan{t}$

Problema

El truco es conjugar

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 20:31.

 Pruebe que si $m, n, r$ son enteros positivos, no nulos, y $$1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2r-1}$$, entonces $m$ es un cuadrado perfecto.

Problema

Una condición de isósceles

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 20:08.

 En un triángulo $ABC$, $M$ y $N$ son los puntos medios respectivos de los lados $AC$ y $AB$, y $P$ el punto medio de intersección de $BM$ y $CN$. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero $ANPM$, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.

Problema

Funciones que cumplen ecuación

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 20:05.

 Encontrar las funciones $f(x)$ tales que cumplen la ecuación $$[f(x)]^2[f(1-x)/(1+x)]=64x$$ para $x\neq0,x\neq1,x\neq-1$

 

Problema

Problema 2 (IMO 2011)

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2011 - 11:23.

Sea $S$ un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En $S$ no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta $l$ que pasa por un único punto $P$ de $S$. Se rota $l$ en el sentido de las manecillas del reloj con centro en $P$ hasta que la recta encuentre por primera vez otro punto de $S$ al cual llamaremos $Q$. Con $Q$ como nuevo centro se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentre otro punto de $S$. Este proceso continúa indefinidamente.

Problema

Problema 1(IMO 2011)

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2011 - 11:21.

Para cualquier conjunto  de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma  con 

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