Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Dominio eficiente de un tablero

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 15:36.

En un tablero de $m\times m$ casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila (--), la columna (|) y la diagonal (\), a la que pertenece. Determine el menor número de fichas que deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero. Nota: la ficha no "domina" la diagonal (/).

Problema

Eliges, sumas, y te vas...

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:18.

Sean $n, r$ dos enteros positivos. Se desea construir $r$ subconjuntos $A_1, A_2,\ldots, A_r$ de $\{0, 1,\ldots, n-1\}$ cada uno de ellos con exactamente $k$ elementos y tales que, para cada entero $x$, $0\leq x \leq n-1$, existen $x_1$ en $A_1$, $x_2$ en $A_2$ ,... , $x_r$ en $A_r$ (un elemento en cada conjunto) con $x = x_1 + x_2\dots+ x_r$. Hallar el menor valor posible de $k$ en función de $n$ y $r$.

Problema

Transformación de acutángulo a equilátero (en el circuncírculo de aquél)

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:16.

Se dan los puntos $A, B, C$ sobre una circunferencia $K$ de manera que el triángulo $ABC$ sea acutángulo. Sea $P$ un punto interior a $K$. Se trazan las rectas $AP, BP, CP$, que cortan de nuevo a la circunferencia en $X, Y, Z$. Determinar el punto $P$ que hace equilátero al triángulo $XYZ$.

Problema

Tablero lampareado

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:14.

En cada casilla de un tablero $n\times n$ hay una lámpara. Al ser tocada una lámpara, cambian de estado ella misma y todas las lámparas situadas en la fila y la columna que ella determina (las que están encendidas se apagan y las apagadas se encienden). Inicialmente todas están apagadas. Demostrar que siempre es posible, con una sucesión adecuada de toques, lograr que todo el tablero quede encendido y encontrar, en función de $n$, el número mínimo de toques para que se enciendan todas las lámparas.

Problema

Cuadrilátero inscriptible y circunscriptible

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:12.

Dado un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus vértices se denotan consecutivamente por $A, B, C, D$. Se supone que existe una semicircunferencia con centro en $AB$, tangente a los otros tres lados del cuadrilátero.

  • i) Demostrar que $AB = AD + BC$.
  • ii) Calcular, en función de $x = AB, y = CD$, el área máxima que puede alcanzar un cuadrilátero que satisface las condiciones del enunciado.
Problema

Números "sensatos"

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 14:09.

Se dice que un número natural $n$ es "sensato" si existe un entero $r$, con $1 < r < n-1$, tal que la representación de $n$ en base $r$ tiene todas sus cifras iguales. Por ejemplo, 62 y 15 son sensatos, ya que 62 es 222 en base 5 y 15 es 33 en base 4.  Demuestre que 1993 no es sensato pero 1994 si lo es.

Problema

Cardinalidad de un conjunto finito de puntos

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 10:43.

Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos en el plano. Denotemos por $m (PQ)$ la mediatriz del segmento $PQ$. Sea $S$ un subconjunto finito del plano, con más de un elemento, que satisface las siguientes propiedades:

  • a) Si $P$ y $Q$ están en $S$, entonces $m (PQ)$ intersecta a $S$.
  • b) Si $P_1Q_1, P_2Q_2, P_3Q_3$ son tres segmentos diferentes cuyos extremos son puntos de $S$, entonces no existe ningún punto de $S$ en la intersección de las tres líneas $m(P_1Q_1), m(P_2Q_2),m(P_3Q_3$).

Determine el número de puntos que puede tener $S$.

 

Problema

Una forma complicada de definir una función elemental

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 10:37.

 Sea $N^* = \{1, 2, 3, \ldots \}$. Halle todas las funciones $f: N^* \mapsto N^*$ tales que:

  • i) si $x < y$, entonces $f(x) < f(y)$
  • ii) $f(y f(x)) = x^2f(xy)$, para todos los $x, y\in N^*$.
Problema

Construcción de un trapecio inscrito

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 08:27.

Se dan la circunferencia $\Gamma$ y los números positivos $h, m$ de modo que existe un trapecio $ABCD$, inscrito en $\Gamma$, de altura $h$ y tal que la suma de sus bases $AB$ y $CD$ es $m$. Construir el trapecio $ABCD$.

Problema

Dos sucesiones recursivas

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 08:24.

Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones de números enteros que verifican las siguientes condiciones:

  • i) $a_0 = 0, b_0 = 8$
  • ii) $a_{n+2} = 2a_{n+1}-a_n+2, b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n$
  • iii) $a_n^2+b_n^2$ es un cuadrado perfecto para todo $n$.

Determinar al menos dos valores del par $(a_{1992}, b_{1992})$.

Distribuir contenido