Avanzado
Cardinalidad mínima de subconjuntos con una cierta propiedad
Hallar el mínimo número natural $n$ con la siguiente propiedad: entre cualesquiera $n$ números distintos, en el conjunto $\{1, 2, \ldots, 999\}$ es posible elegir cuatro diferentes $a, b, c, d$, tales que $a + 2b + 3c = d$.
Caracterización del isósceles vía su incírculo
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC, CA$ y $AB$ en los puntos $D, E$ y $F$, respectivamente. $AD$ corta a la circunferencia en un segundo punto $Q$. Demostrar que la recta $EQ$ pasa por el punto medio de $AF$ si, y solamente si, $AC = BC$.
98 puntos en una circunferencia
En una circunferencia hay dados 98 puntos. María y José juegan alternadamente de la siguiente manera: cada uno traza un segmento que une dos puntos que no han sido unidos antes. El juego finaliza cuando los 98 puntos han sido usados como extremos de al menos un segmento. El ganador es quien traza el último segmento. Si José inicia el juego ¿quién puede asegurarse la victoria?
Un triedro trirrectángulo
Sea $OXYZ$ un triedro trirrectángulo de vértice $O$ y aristas $X, Y, Z$. Sobre la arista $Z$ se toma un punto fijo $C$, tal que $OC = c$. Sobre $X$ y $Y$ se toman respectivamente dos puntos variables $P$ y $Q$ de modo que la suma $OP + OQ$ sea una constante dada $k$. Para cada par de puntos $P$ y $Q$, los cuatro puntos $O, C, P, Q$ están en una esfera, cuyo centro $W$ se proyecta sobre el plano $OXY$. Razonar cuál es el lugar geométrico de esa proyección. Razonar también cuál es el lugar geométrico de $W$.
Un juego de azar
Una máquina de juego de un casino tiene una pantalla en la que se ofrece un esquema como el de la figura.
Para comenzar el juego aparece una bola en el punto $S$. A cada impulso que recibe del jugador, esa bola se mueve hasta una de las letras adyacentes con la misma probabilidad para cada una de ellas. La partida termina al ocurrir el primero de los dos hechos siguientes:
- a) La bola vuelve a $S$ y entonces el jugador pierde.
- b) La bola llega a $G$ y entonces el jugador gana.
Se pide la probabilidad de que el jugador gane y la duración media de las partidas.
Distancias entre puntos de una cuadrícula
Se dan 16 puntos formando una cuadrícula como en la figura
De ellos se han destacado $A$ y $D$. Se pide fijar,de todos los modos posibles, otros dos puntos $B$ y $C$ con la condición de que las seis distancias determinadas por los cuatro puntos sean distintas. En ese conjunto de cuaternas, estudiar:
Triángulo aritmético
Sea dado el triángulo aritmético
0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993
1 3 5 7...................... 3983 3985
4 8 12............................. 7968
...
(donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Demostrar que el último número es múltiplo de 1993.
Segmentos formados por n puntos
Se tienen $n$ puntos distintos $A_1, A_2,\ldots,A_n$ en el plano y a cada punto $A_i$ se ha asignado un número real $\lambda$ distinto de cero, de manera que $\overline{A_iA_j}^2=\lambda_i+\lambda_j$, para todos los $i,j,i\neq j$
Demuestre que
(a) $n\leq 4$
(b) Si $n = 4$, entonces $\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}+\frac{1}{\lambda_4}=0$
Coloreo de triángulos con fichas
Tres fichas $A, B, C$ están situadas una en cada vértice de un triángulo equilátero de lado $n$. Se ha dividido el triángulo en triangulitos equiláteros de lado 1, tal como muestra la figura en el caso $n = 3$.
Inicialmente todas las líneas de la figura están pintadas de azul. Las fichas se desplazan por las líneas, pintando de rojo su trayectoria, de acuerdo con las dos reglas siguientes:
Suma de fracciones 1/ab
Dado un número natural $n\geq 2$ considere todas las fracciones de la forma $1/ab$, donde $a$ y $b$ son números naturales, primos entre sí y tales que $$a < b \leq n$$ $$a + b \gt n$$ Demuestre que para cada $n$, la suma de estas fracciones es 1/2.