Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Escaleno con bisectriz

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 18:29.

En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$ sobre $AC$. Sean $E$ y $F$, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$, y sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demuestre que $\angle{EMD} = \angle{DMF}$.

Problema

Lugar geométrico del circuncentro

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 18:27.

Un punto $P$ es interior al triángulo equilátero $ABC$ y cumple que el ángulo APC es de 120 grados. Sean $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $AP$ con $BC$. Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $MBN$ al variar $P$.

Problema

Nueve puntos en el plano

Enviado por jmd el 6 de Enero de 2012 - 18:24.

Dado cualquier conjunto de 9 puntos en el plano de los cuales no hay tres colineales, demuestre que para cada punto $P$ del conjunto, el número de triángulos que tienen como vértices a tres de los ocho puntos restantes y a $P$ en su interior, es par.

Problema

Cobertura imposible

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 16:43.

Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado 1 con cinco cuadrados iguales de lado menor o igual que 1/2.

 

Problema

Naves marcianas en una cuadrícula

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 16:40.

En un tablero de $2000 \times 2001$ cuadros de coordenadas enteras $(x,y)$, $0\leq x \leq 1999$ y $0 \leq y\leq 2000$, una nave se mueve de la siguiente manera:

Problema

Número máximo de subsucesiones aritméticas crecientes

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 16:37.

Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión $a_1 < a_2<...<a_n$ de $n > 3$ números reales.

Nota: Tres términos $a_i, a_j, a_k$ de una sucesión de números reales forman una progresión aritmética creciente si $a_i < a_j <a_k$ y $a_j - a_i = a_k - a_j$.

Problema

Desigualdad para cardinalidades de subconjuntos

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 16:32.

Sean $S$ un conjunto de $n$ elementos y $S_1, S_2, \ldots, S_k$ subconjuntos de $S$ ($k\geq 2$), tales que cada uno de ellos tiene por lo menos $r$ elementos.  Demostrar que existen $i$ y $j$, con $1\leq i < j \leq k$ tales que la cantidad de elementos comunes de $S_i$ y $S_j$ es mayor o igual que $$r-\frac{nk}{4(k-1)}$$

Problema

Incírculo y condición suficiente para isósceles

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 16:29.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC, AC$ y $AB$ en los puntos $X, Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ intersectan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.

Demostrar que si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, entonces el triángulo $ABC$ es isósceles.

Problema

Números charrúas

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:45.

Decimos que un número natural $n$ es "charrúa" si satisface simultáneamente las siguientes condiciones:

  • Todos los dígitos de $n$ son mayores que 1.
  • Siempre que se multiplican cuatro dígitos de $n$, se obtiene un divisor de $n$.

Demostrar que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.

Problema

Área de un hexágono bonito

Enviado por jmd el 5 de Enero de 2012 - 15:34.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud 1, cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono.

  • (a) Dado cualquier número $k$, mayor que 0 y menor o igual que 1, encontrar un hexágono bonito de área $k$.
  • (b) Demostrar que el área de cualquier hexágono bonito es menor que 3/2.
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