Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Cuadrados en cada lado y concurrencia.

Enviado por jesus el 29 de Enero de 2009 - 17:01.

Sobre los lados del triángulo ABC se han dibujado los cuadrados $ \mathcal{C}_A $, $ \mathcal{C}_B $ y $ \mathcal{C}_C $, de tal manera que un lado del cuadrado es un lado del triángulo y el cuadrado no traslapa al triángulo. El cuadrado $ \mathcal{C}_A $ se encuentra sobre BC; $ \mathcal{C}_B $ sobre AC; y $ \mathcal{C}_C $ sobre AB.

Problema

Problema de cíclicos

Enviado por Luis Brandon el 27 de Enero de 2009 - 19:52.

En un triángulo acutángulo, el círculo de diámetro AB intersecta la altura CE y su extensión en M y N, y el círculo de diámetro AC intersecta la altura BD y su extensión en P y Q. Probar que los puntos M, N, P, Q están sobre una misma circunferencia.

(Nota:Este problema es una extensión del problema dos segmentos iguales.)

Problema

Cuerda del incírculo, una mediana y una perpendicular

Enviado por jesus el 22 de Enero de 2009 - 18:04.

Sean P, Q y R los puntos donde la circunferencia inscrita del triángulo ABC toca a los lados BC, CA y AB respectivamente. Llamemos M al punto medio de BC.

Problema

Para trabajar semejanza

Enviado por Luis Brandon el 22 de Enero de 2009 - 17:00.
Sea D el punto de tangencia del incirculo del triangulo ABC con BC, sea E otro punto sobre el incirculo tal que ED es perpendicular con BC, la prolongacion de AE corta en F a BC. Demostrar que BD=CF
Problema

Geometría analítica, un legado cartesiano

Enviado por jmd el 16 de Enero de 2009 - 09:56.

Sean $A, B, C, D$ cuatro puntos distintos sobre una recta, en ese orden. Los círculos de diámetros $AC$ y $BD$ se intersectan en los puntos $X$ y $Y$. La recta $XY$ corta a $BC$ en el punto $Z$. Sea $P$ un punto sobre la recta $XY$, y diferente de $Z$. La recta $CP$ intersecta al círculo de diámetro $AC$ en los puntos $C$ y $M$, y la recta $BP$ intersecta el círculo de diámetro $BD$ en los puntos $B$ y $N$. Demostrar que las rectas $AM$, $DN$ y $XY$ son concurrentes. 

Problema

Simediana, línea media y pies de alturas

Enviado por jesus el 25 de Noviembre de 2008 - 13:33.

Consideremos un triángulo cualquiera ABC. Llamemos P y Q los pies de las alturas trazadas desde B y C respectivamente. Consideremos también $\mathcal{M} $ la línea media opuesta al vértice C; y consideremos $\mathcal{L}$ la simediana trazada desde B. Demuestra que las líneas PQ, $\mathcal{M}$ y $\mathcal{L}$ concurren.

Problema

Problema 2 de la OMM 2008

Enviado por jesus el 17 de Noviembre de 2008 - 14:31.

Considera una circunferencia $\Gamma$, un punto A fuera de $ \Gamma $ y las tangentes AB, AC a $ \Gamma $ desde A, con B y C los puntos de tangencia. Sea P un punto sobre el segmento AB, distinto de A y de B. Considera el punto Q sobre el segmento AC tal que PQ es tangente a $ \Gamma$, y a los puntos R y S que están sobre las rectas AB y AC, respectivamente, de manera que RS es paralela a PQ y tangente a $\Gamma$. Muestra que el producto de las áreas de los triángulos APQ y ARS no depende de la elección del punto P.

Muestra que el producto de las áreas de los triángulos APQ y ARS no depende de la elección del punto P.

Problema

Problema 1 de la OMM 2008

Enviado por jesus el 17 de Noviembre de 2008 - 14:21.

Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.

Problema

El multiplo de 2000 más pequeño que es suma de los primeros cuadrados

Enviado por jesus el 18 de Octubre de 2008 - 20:18.

Encuentra el número entero $ n > 0 $ más pequeño que satisface que 2000 divide a

$$ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 $$.

Problema

En sucesión modular busca el ciclo

Enviado por jmd el 5 de Octubre de 2008 - 06:34.

Considere la sucesión $1, 9, 8, 3, 4, 3, \ldots$ en la cual $a_{n+4}$ es el dígito de la unidades de $a_n + a_{n+3},$ para $ n $ entero positivo. Demuestre que $a_{1985}^2 +a_{1986}^2+ \ldots + a_{2000}^2$ es un múltiplo de $ 2 $.

Distribuir contenido