Avanzado

En una fiesta con n personas se sabe que de entre cualesquiera 4 personas, hay 3 de las 4 que se conocen entre sí o hay 3 que no se conocen entre sí. Muestra que las n personas se pueden separar en 2 salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro salón no hay dos personas que se conozcan entre sí.

Considera un triángulo ABC y un punto M sobre el lado BC. Sea P la intersección de las perpendiculares a AB por M y a BC por B, y sea Q la intersección de las perpendiculares a AC por M y a BC por C. Muestra que PQ es perpendicular a AM si y sólo si M es punto medio de BC.

Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales distintos. Sea $ M $ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos de la expresión $s=\pm {a_1} \pm {a_2}\pm \ldots \pm {a_n}$ de manera que $m<s<M$.

En cajas marcadas con los números  0,1,2,3,... se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas:

El incírculo del triángulo $\triangle ABC$ es tangente al lado $AB$ en el punto $P$ y al lado $ BC $ en el punto $Q$. El círculo que pasa por los puntos $A,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $ BC $ en $ M $ y el círculo que pasa por los puntos $C,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $ AB $ en el punto $ N $.

Alrededor de una circunferencia se marcan 6000 puntos y cada uno se colorea con uno de 10 colores dados, de manera tal que entre cualesquiera 100 puntos consecutivos siempre figuran los 10 colores. Hallar el menor valor k con la siguiente propiedad: Para toda coloración de este tipo existen $k $ puntos consecutivos entre los cuales figuran los 10 colores.

La sucesión $a_n$ está definida por

$a_1=1, a_{2k}=1+a_k$ y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k\geq 1$.

Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esa sucesión.
 

Sea $ ABC $ un triángulo con $AB\neq AC$.  Sean $ I $ el incentro de $ ABC $ y $ P $ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A $ con el circuncírculo de $ ABC $. La recta $PI$ intersecta por segunda vez al circuncírculo de $ ABC $ en el punto $J $. Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, con el mismo radio, que se cortan en $A $ y en $ B $. Sea $P $ un punto sobre el arco $AB$ de $C_2$ que está dentro de $C_1$. La recta $AP$ corta a $C_1$ en $C $, la recta $CB$ corta a $C_2$ en $D $ y la bisectriz del $\angle CAD$ intersecta a $C_1$ en $E $ y a $C_2$ en $L $. Sea $F $ el punto simétrico a $D $ con respecto al punto medio de $PE$. Demostrar que existe un punto $X $ que satisface $\angle XFL = \angle XDC = 30^\circ$ y $CX = O_1O_2$.

Para cada entero positivo $ n $ se define $a_n = n+m$, donde $ m $ es el mayor entero tal que $2^{2^m}\leq n2^n$. Determinar qué enteros positivos no aparecen en la sucesión $a_n$.