Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Olimpiada Iberoamericana (el 4 de 1987)

Enviado por jmd el 20 de Septiembre de 2009 - 05:07.

Se define la sucesión $p_n$ de la siguiente manera: $p_1=2$ y, para $n\geq2$, $p_n$ es el mayor divisor primo de $p_1p_2\ldots p_{n-1}+1$. Demostrar que $p_n$ es diferente de 5.

Problema

Sin Euler estaríamos perdidos

Enviado por jmd el 9 de Septiembre de 2009 - 10:30.

Encontrar las tres últimas cifras de $2009^{9999}$ (argumento fiador requerido).

Problema

Divisible entre la suma de sus cifras

Enviado por jmd el 2 de Septiembre de 2009 - 17:56.

Demostrar que en un conjunto de 18 números enteros positivos, consecutivos y  menores o iguales a 2009, hay uno que es divisible entre la suma de sus cifras.

Problema

Una diofantina muy difícil

Enviado por jmd el 28 de Agosto de 2009 - 19:21.

Resolver la ecuación diofantina siguiente para enteros no negativos x,y,z:

$$x^2+y^4+z^6=2^{1111}$$

Problema

División en casos

Enviado por jmd el 16 de Agosto de 2009 - 18:30.

Encontrar todas las tripletas $(p,q,r)$ de números primos tales que $p^q+p^r$ es un cuadrado perfecto.

Problema

Problema 4 OIM 1997

Enviado por jesus el 1 de Agosto de 2009 - 23:20.

 Sea n un entero positivo. Consideremos la suma $x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n$, donde los valores que pueden tomar las variables $x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n$ son únicamente 0 y 1. Sea $I(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea $P(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales la suma toma valor par. Probar que

$$\frac{P(n)}{ I(n)}=\frac{2^n + 1}{2^n - 1}$$

Problema

IMO 2009 Problema 1

Enviado por Luis Brandon el 21 de Julio de 2009 - 10:42.

Sea $ n $ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_k (k\geq 2)$ enteros distintos del conjunto $ {1,...,n} $, tales que $ n $ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,..., k-1$. Demostrar que $ n $ no divide a $a_k(a_1-1)$.

Problema

IMO 2009 Problema 2

Enviado por Luis Brandon el 20 de Julio de 2009 - 19:11.

Sean ABC un triángulo de circuncentro O, P y Q puntos sobre AB y AC, respectivamente, y K, L, M los puntos medios de BQ, CP y PQ, respectivamente. Si el circuncírculo del triangulo KLM es tangente a PQ, demostrar que OP=OQ.

Problema

IMO 2009 Problema 4

Enviado por Luis Brandon el 20 de Julio de 2009 - 09:44.

En un triángulo $ ABC $, donde $AB=AC$, los bisectrices internas de $\angle{A}$ y $\angle{B}$ cortan a los lados $ BC $ y $AC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $I$ el incentro del triángulo $ADC$. Supongamos que $\angle{IEB}=45$. Encontrar todos los valores posibles de $\angle{A}$.

Problema

El lugar geométrico de la reflexión de un punto

Enviado por jesus el 17 de Julio de 2009 - 10:59.

Sean $ P$ un punto en el interior de una circunferencia $\mathcal{C}$ y $ M$ un punto sobre $\mathcal{C}$. Definamos $ N$ el punto sobre $\mathcal{C}$ tal que el ángulo $\measuredangle MPN = 90^{\circ}$ (en sentido contrario de las manecillas del reloj). Llamemos $P'$ el punto que resulta de reflejar $ P$ con respecto a $MN$.

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