Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Ejercicio 2.1.4

Enviado por jesus el 25 de Febrero de 2010 - 01:40.
Problema

Ejercicio 2.1.2

Enviado por jesus el 25 de Febrero de 2010 - 01:13.

Sea $ABCD$ un cuadrángulo en el plano Euclideano extendido (PEE). Sea $X = AB \cap CD$, $Y= BD \cap CA$, $Z = AD\cap BC$. El triángulo $XYZ$ es llamado triángulo diagonal.

Dibuja la configuración dual (el cuadrilátero y su trilátero diagonal).

Problema

El fácil de la IMO 1961

Enviado por jmd el 2 de Enero de 2010 - 09:05.

Resolver el sistema de ecuaciones (donde $a,b$ son constantes):

x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2

Dar, además, las condiciones que deben satisfacer $a,b$ para que las soluciones del sistema $x,y,z$ sean números positivos distintos.

Problema

XXIIIOMM Problema 6

Enviado por jmd el 11 de Noviembre de 2009 - 12:17.

En una fiesta con n personas se sabe que de entre cualesquiera 4 personas, hay 3 de las 4 que se conocen entre sí o hay 3 que no se conocen entre sí. Muestra que las n personas se pueden separar en 2 salones de manera que en un salón todos se conocen entre sí y en el otro salón no hay dos personas que se conozcan entre sí.

Problema

XXIIIOMM Problema 5

Enviado por jmd el 11 de Noviembre de 2009 - 12:13.

Considera un triángulo ABC y un punto M sobre el lado BC. Sea P la intersección de las perpendiculares a AB por M y a BC por B, y sea Q la intersección de las perpendiculares a AC por M y a BC por C. Muestra que PQ es perpendicular a AM si y sólo si M es punto medio de BC.

Problema

XXIIIOMM Problema 4

Enviado por jmd el 11 de Noviembre de 2009 - 12:03.

Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales distintos. Sea $ M $ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos de la expresión $s=\pm {a_1} \pm {a_2}\pm \ldots \pm {a_n}$ de manera que $m<s<M$.

Problema

XXIIIOMM Problema 2

Enviado por jmd el 10 de Noviembre de 2009 - 14:38.

En cajas marcadas con los números  0,1,2,3,... se van a colocar todos los enteros positivos de acuerdo con las siguientes reglas:

Problema

IX Olimpiada Norestense de Matemáticas (Problema 3)

Enviado por jmd el 3 de Octubre de 2009 - 07:34.

El incírculo del triángulo $\triangle ABC$ es tangente al lado $AB$ en el punto $P$ y al lado $ BC $ en el punto $Q$. El círculo que pasa por los puntos $A,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $ BC $ en $ M $ y el círculo que pasa por los puntos $C,P,Q$ corta por segunda vez a la recta $ AB $ en el punto $ N $.

Problema

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 6)

Enviado por jesus el 23 de Septiembre de 2009 - 14:02.

Alrededor de una circunferencia se marcan 6000 puntos y cada uno se colorea con uno de 10 colores dados, de manera tal que entre cualesquiera 100 puntos consecutivos siempre figuran los 10 colores. Hallar el menor valor k con la siguiente propiedad: Para toda coloración de este tipo existen $k $ puntos consecutivos entre los cuales figuran los 10 colores.

Problema

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 5)

Enviado por jmd el 23 de Septiembre de 2009 - 14:01.

La sucesión $a_n$ está definida por

$a_1=1, a_{2k}=1+a_k$ y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k\geq 1$.

Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esa sucesión.
 

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