Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

P5. OMM 1990. Baricentro de coordenadas enteras

Enviado por jmd el 7 de Julio de 2010 - 02:23.

Si $P_1,P_2,\ldots,P_{19}$ son diecinueve puntos del plano con coordenadas enteras tales que cada tres de ellos son no colineales, demuestre que hay tres con la propiedad de que su baricentro (punto de intersección de las medianas de un triángulo), también tiene coordenadas enteras.

Problema

P2. OMM 1990. Relación de inradios

Enviado por jmd el 7 de Julio de 2010 - 02:15.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $B$, y $H$ el punto de intersección del lado $AC$ y la altura por $B$. Llamemos $r,r_1,r_2$ a los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos $ABC,ABH,HBC$, respectivamente. Encuentre una igualdad que relacione $r,r_1,r_2$.

Problema

P5. OMM 1989. Círculos tangentes

Enviado por jmd el 6 de Julio de 2010 - 11:23.

Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos tangentes de radio 1 dentro de un círculo $C$ de radio 2. Sea $C_3$ un círculo dentro de $C$ tangente a cada uno de los círculos $C,C_1,C_2$. Sea $C_4$ un círculo dentro de $C$ tangente a $C,C_1,C_3$. Demuestre que los centros de $C,C_1,C_3,C_4$ son los vértices de un rectángulo.

Problema

P6. OMM 1988. Lugar geométrico del incentro

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:13.

Considere dos puntos fijos $B$ y $C$ de una circunferencia $W$. Encuentre el lugar geométrico de las intersecciones de las bisectrices de los triángulos $ABC$, cuando $A$ es un punto que recorre $W$.

Problema

P3. OMM 1988. Área de triángulo de tangentes comunes

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2010 - 19:05.

Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
 

Problema

Circunferencias inscritas en ángulo e isósceles

Enviado por jmd el 1 de Julio de 2010 - 20:32.

Dos circunferencias están inscritas entre los lados de un triángulo isósceles $ABC$ (con $AB=AC$) y los de un ángulo, uno de los cuales pasa por A y el otro incluye la base $BC$ del isósceles. Encontrar la relación entre la altura de $A$ respecto a la base $BC$ y los radios de las circunferencias.

Problema

Círculos internamente tangentes

Enviado por jmd el 25 de Junio de 2010 - 11:35.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma_1$ dos círculos tangentes internamente en $A$ y con centros $O$ y $O_1$, respectivamente. Sea $B$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto al punto $A$, y $C$ un punto en $\Gamma$ tal que $BC$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$. Sea $A'$ el punto medio de $BC$. Suponiendo que $O_1A'$ es paralela a $AP$, calcular la razón $r/r_1$.

Problema

Problema cuadrático

Enviado por jmd el 1 de Junio de 2010 - 19:55.

Sean $x,y$ enteros para los cuales existen enteros consecutivos $c$ y $d$ tales que $x-y=x^2c-y^2d$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.

Problema

¿Cuadrado perfecto? ¡Manipulación algebraica!

Enviado por jmd el 1 de Junio de 2010 - 07:07.

Sean $x,y$ enteros positivos tales que $3x^2+x=4y^2+y$. Demostrar que $x-y$ es cuadrado perfecto.

Problema

Máximo con restricciones

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2010 - 21:26.

Los números reales $a,b,c,d,e$ suman 8 , sus cuadrados 16. Encontrar el máximo valor que puede obtener $e$.

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