Avanzado

Sea $ n $ un natural mayor que 2. Supongamos que $ n $ islas están ubicadas en un círculo y que entre cada dos islas vecinas hay dos puentes como en la figura:

Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a,b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a+b$ y $201a+b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.

A cada número natural n se le asigna un entero no negativo $f(n)$ de tal manera que se satisfacen las siguientes condiciones:

• (i) $f(rs)=f(r)+f(s)$
• (ii) $f(n)=0$, si el dígito de las unidades de n es 3
• (iii) $f(10)=0$

Hallar $f(1985)$

Se define la sucesión $p_n$ de la siguiente manera: $p_1=2$ y, para $n\geq2$, $p_n$ es el mayor divisor primo de $p_1p_2\ldots p_{n-1}+1$. Demostrar que $p_n$ es diferente de 5.

Encontrar las tres últimas cifras de $2009^{9999}$ (argumento fiador requerido).

Demostrar que en un conjunto de 18 números enteros positivos, consecutivos y  menores o iguales a 2009, hay uno que es divisible entre la suma de sus cifras.

Resolver la ecuación diofantina siguiente para enteros no negativos x,y,z:

$$x^2+y^4+z^6=2^{1111}$$

Encontrar todas las tripletas $(p,q,r)$ de números primos tales que $p^q+p^r$ es un cuadrado perfecto.

 Sea n un entero positivo. Consideremos la suma $x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n$, donde los valores que pueden tomar las variables $x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n$ son únicamente 0 y 1. Sea $I(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea $P(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales la suma toma valor par. Probar que

$$\frac{P(n)}{ I(n)}=\frac{2^n + 1}{2^n - 1}$$

Sea $ n $ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_k (k\geq 2)$ enteros distintos del conjunto $ {1,...,n} $, tales que $ n $ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,..., k-1$. Demostrar que $ n $ no divide a $a_k(a_1-1)$.