Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Problema 2 de la OMM 2008

Enviado por jesus el 17 de Noviembre de 2008 - 14:31.

Considera una circunferencia $\Gamma$, un punto A fuera de $ \Gamma $ y las tangentes AB, AC a $ \Gamma $ desde A, con B y C los puntos de tangencia. Sea P un punto sobre el segmento AB, distinto de A y de B. Considera el punto Q sobre el segmento AC tal que PQ es tangente a $ \Gamma$, y a los puntos R y S que están sobre las rectas AB y AC, respectivamente, de manera que RS es paralela a PQ y tangente a $\Gamma$. Muestra que el producto de las áreas de los triángulos APQ y ARS no depende de la elección del punto P.

Muestra que el producto de las áreas de los triángulos APQ y ARS no depende de la elección del punto P.

Problema

Problema 1 de la OMM 2008

Enviado por jesus el 17 de Noviembre de 2008 - 14:21.

Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.

Problema

El multiplo de 2000 más pequeño que es suma de los primeros cuadrados

Enviado por jesus el 18 de Octubre de 2008 - 20:18.

Encuentra el número entero $ n > 0 $ más pequeño que satisface que 2000 divide a

$$ 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 $$.

Problema

En sucesión modular busca el ciclo

Enviado por jmd el 5 de Octubre de 2008 - 06:34.

Considere la sucesión $1, 9, 8, 3, 4, 3, \ldots$ en la cual $a_{n+4}$ es el dígito de la unidades de $a_n + a_{n+3},$ para $ n $ entero positivo. Demuestre que $a_{1985}^2 +a_{1986}^2+ \ldots + a_{2000}^2$ es un múltiplo de $ 2 $.

Problema

suma de divisores

Enviado por jmd el 2 de Octubre de 2008 - 08:54.

Demuestre que hay una infinidad de enteros positivos $ n $ tales que la suma de los divisores positivos del número $2008^n-1$ es divisible entre $ n $.


 

Problema

Método del residuo chino

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2008 - 05:51.

Una compañía de n soldados es tal que:

– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.) – Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.

Problema

2n-agono

Enviado por jmd el 1 de Enero de 2008 - 00:00.

Demostrar que para cada n natural mayor que 1, cualquier 2n-ágono convexo tiene una diagonal que no es paralela a ningún lado.

Distribuir contenido