Avanzado

Sean $p$ un número primo y $g$ una de sus raíces primitivas. Demostrar que dos enteros positivos $i,j$ son equiresiduales en la división entre $p-1$ si y sólo si $g^i,g^j$ son equiresiduales en la división entre $p$

Considere el cociente $k$ que resulta de dividir $x^2+y^2+1$ entre $xy$, con $x,y$ enteros positivos y la división tiene residuo cero. Determine todos los valores enteros posibles de $k$.

Sean $\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4, \pi_5, \pi_6$ tres planos en un espacio proyectivo tridimensional de tal manera que cada uno de los siguientes conjuntos de tres planos tienen una línea común de intersección:

\[\{\pi_1, \pi_2, \pi_3\}, \{\pi_1, \pi_4, \pi_5\}, \{\pi_3, \pi_5, \pi_6\}, \{\pi_2, \pi_4, \pi_6\}\]

Más aun, no cuatro de éstos planos tienen una línea común.

Prueba que los seis planos tienen un punto en común.

Demuestra lo siguiente sobre planos afines:

Supon que el teorema de Desargues es válido en un cierto plano proyectivo $\mathcal{P}$. Prueba que su converso también será válido sin utilizar el Principio de Dualidad.

Considera la tripleta $(\mathcal{P}, \mathcal{L}, \mathcal{I})$ con $\mathcal{P}=\{1,2,3, 4\}$, $\mathcal{L} = \{a, b, c, d, e, f\}$ y $\mathcal{I} = \{(1,a), (2,a), (3,b), (4,b), (1,c), (3,c), (2,d), (4,d), (1,e),(4,e),(2,f),(3,f)\}$.

1. Dibuja un diagrama de esta tripleta.
2. Verifica que esta tripleta satisface únicamente dos de los axiomas de plano proyectivo.

Sea $\pi$ un plano proyectivo. Usa la definición 3.11(la definición de espacio proyectivo pero simplificada) para probar que:

P3'. Existe almenos tres líneas no concurrentes en $\pi$.

P4'. Exiten almenos tres líneas que pasan por cualquier punto en $\pi$.

Deduce que el principio de dualidad es válido en un plano proyectivo.

Demuestra que para cuales quiera $S_r$ y $S_n$ espacios proyectivos, el espacio $S_r \oplus S_n $ está formado por aquellos (y sólo aquellos) puntos que se encuentran sobre un línea que une un punto de $S_r$ y uno de $S_n$

Sean $\ell$, $m$ y $n$ tres líneas mutuamente oblicuas (i.e, no dos de ellas se intersectan) en un espacio proyectivo $S_3$ de dimensión 3. Demuestre que por cada punto de $\ell$ pasa una única línea $r$ que intersecta a $m$ y $n$.

Esas líneas son llamadas $(\ell, m, n)$-transversales. El conjunto de $\mathcal{R}$ de todas las $(\ell, m, n)$-transversales es llamado un regulus, y algunas veces es denotado por $\mathcal{R}(\ell, m, n)$. Demuestre que no hay dos $(\ell, m , n)$-transversales distintas que se intersecten.

Dos planos en un espacio proyectivo de dimensión 4, $S_4$, se dice que son oblicuos (skew en inglés) si se intersectan en un sólo punto. Sean $\pi$, $\alpha$ y $\beta$ tres planos mutuamente oblicuos en $S_4$. Demuestra que existe un único plano de $S_4$ que intesecta a cada uno de los planos $\pi$, $\alpha$ y $\beta$ en una recta.