Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

P5 OMM 1995. Triángulos de igual área en pentágono

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 14:28.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo de manera que los triángulos $ABC,BCD, CDE, DEA$ y $EAB$ son todos de igual área. Demuestra que

$$\frac{1}{4} (ABCDE)<(ABC)<\frac{1}{3} (ABCDE)$$.

(Donde el paréntesis denota el área del polígono dentro de él.)

Problema

P4 OMM 1995. Con 26 sí, con 27 no

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 14:25.

a) Encuentra un subconjunto $B$ del conjunto $A = \{1, 2, 3, \ldots, 40\}$, de manera que $B$ tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de $B$ sea un cuadrado perfecto.
b) Demuestra que no se puede obtener un subconjunto de $A$ de 27 elementos con la característica mencionada en el inciso anterior.

Problema

P3 OMM 1995. Vértices consecutivos de heptágono regular

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 14:23.

Sean $A,B,C,D$ vértices consecutivos de un heptágono regular, y $AL$ y $AM$ las tangentes desde $A$ a la circunferencia de centro $C$ y radio $CB$. Si $N$ es la intersección de $AC$ y $BD$, demuestra que los puntos $L, M$ y $N$ son colineales.

Problema

P5 OMM 1994. Cuatro vértices, 4 triángulos, 12 alturas

Enviado por jmd el 10 de Julio de 2010 - 13:39.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo (cada uno de sus ángulos es menor a 180 grados) y considere los pies de las alturas de los cuatro triángulos que se pueden formar con los vértices $A,B,C$ y $D$. Demuestre que no importa qué cuadrilátero convexo se tome, alguno de estos 12 puntos se encuentra sobre un lado del cuadrilátero.

Problema

P6. OMM 1993. El siguiente del producto de 4 consecutivos

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 17:09.

Sea $f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)+1$ y $p$ un número primo impar. Pruebe
que existe un entero $ n $ tal que $p$ divide a $f(n)$ si y sólo si existe un entero
$m$ tal que $p$ divide a $m^2 - 5$.

Problema

P5. OMM 1993. Intersecciones colineales de circunferencias

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 17:08.

Por un punto $O$ de una circunferencia, se tienen tres cuerdas que sirven
como diámetros de tres circunferencias. Además del punto común $O$, las
circunferencias se intersectan por parejas en otros tres puntos. Demuestre
que tales puntos son colineales.
 

Problema

P4. OMM 1993. Recurrencia en dos variables

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 17:05.

Para cualquier número entero $n>0$, se define:
1. $f(n, 0) = 1$ y $f(n, n) = 1$
2. $f(n, k) = f(n - 1, k - 1) + f(n - 1, k)$ para $0<k<n$.
¿Cuántos cálculos se tienen que hacer para encontrar el valor de $f(3991, 1993)$,
sin contar aquellos de la forma $f(n, 0)$ y $f(n, n)$?

Problema

P6 OMM 1992. Muchas preguntas con un rectángulo

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 11:09.

Sea $ABCD$ un rectángulo. Sean $I$ el punto medio de $CD$ y $M$ la intersección de $BI$ con la diagonal $AC$.

  • 1. Pruebe que $DM$ pasa por el punto medio de $BC$.
  • 2. Sea $E$ el punto exterior al rectángulo tal que $ABE$ sea un triángulo
    isósceles y rectángulo en $E$. Además, supongamos que $BC = BE = a$.
    Pruebe que $ME$ es bisectriz del ángulo $AMB$.
  • 3. Calcule el área del cuadrilátero $AEBM$ en función de $A$.
Problema

P5 OMM 1992. Desigualdad con suma de radicales

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 11:02.

Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x + y + z = 3$. Si
$$S = \sqrt{2x + 3} + \sqrt{2y + 3} + \sqrt{2z + 3},$$
pruebe que $6 < S \leq 3\sqrt{5}$

Problema

P6 OMM 1991. Triángulos en un polígono

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2010 - 10:23.

En un polígono de $ n $ lados, ($n \geq 4$) se considera una familia $T$ de triángulos, formados con los vértices del polígono, con la propiedad de que cada dos triángulos de la familia cumple alguna de las siguientes dos condiciones:
– No tienen dos vértices en común.
– Tienen dos vértices en común.
Demuestre que $T$ tiene a lo más $ n $ triángulos.
 

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