Avanzado

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$, más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ el punto diametralmente opuesto a $B$, y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demostrar que $M, D$ y $C$ están alineados.

Se construye un polígono regular de $n$ lados ($n\geq 3$) y se enumeran sus vértices del 1 al $n$. Se trazan todas las diagonales del polígono. Demostrar que si $n$ es impar, se puede asignar a cada lado y a cada diagonal un número entero del 1 al $n$, tal que se cumplan simultáneamente las siguientes dos condiciones:

• (a) El número asignado a cada lado o diagonal es distinto a los asignados a los vértices que une.
• (b) Para cada vértice, todos los lados y diagonales que compartan dicho vértice
  tienen números diferentes.

 Sean $A$ y $B$ puntos del plano y $C$ un punto de la mediatriz de $AB$. Se construye una sucesión $C_1, C_2, \ldots, C_n, \ldots$ de la siguiente manera: $C_1 = C$ y, para $n\geq 1$, si $C_n$ no pertenece al segmento $AB$, entonces $C_{n+1}$ es el circuncentro del triángulo $ABC_n$.
Determine todos los puntos $C$ tales que la sucesión $C_1, C_2, \ldots, C_n,\ldots$ está definida para todo $n$ y es periódica a partir de un cierto punto.

Nota: Una sucesión $C_1, C_2,\ldots, C_n,\ldots$ es periódica a partir de un cierto punto si existen enteros positivos $k$ y $p$ tales que $C_{n+p} = C_n$ para todo $n\geq k$.

Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en una circunferencia de centro $O$. Las alturas del triángulo son $AD, BE$ y $CF$. La recta $EF$ corta a la circunferencia en $P$ y $Q$.

• a) Pruebe que $OA$ es perpendicular a $PQ$.
• b) Si $M$ es el punto medio de $BC$, pruebe que $AP^2 = 2AD\cdot OM$

 Sea $B$ un entero mayor que 10 tal que cada uno de sus dígitos pertenece al conjunto $\{1, 3, 7, 9\}$. Demuestre que $B$ tiene un factor primo mayor o igual que 11.

Sean $n$ puntos distintos, $P_1, P_2,\ldots, P_n$, sobre una recta del plano ($n \geq 2$). Considere todas las circunferencias de diámetro $P_iP_j$ ($1\leq i \leq j\leq n$) y coloreadas cada una con uno de $k$ colores dados. Llamamos $(n-k)$-nube a esta configuración.

Para cada entero positivo $k$, determine todos los $n$ para los cuales se verifica que toda $(n-k)$-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.
Nota: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.

Dadas dos circunferencias $M$ y $N$, decimos que $M$ biseca a $N$ si la cuerda común es un diámetro de $N$. Considere dos circunferencias fijas $C_1$ y $C_2$ no concéntricas.

• a) Pruebe que existen infinitas circunferencias $B$ tales que $B$ biseca a $C_1$ y $B$ biseca a $C_2$.
• b) Determine el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $B$.

Sea $\lambda$ la raíz positiva de la ecuación $t^2 - 1998t - 1 = 0$. Se define la sucesión $x_0 , x_1 ,x_2 ,\ldots, x_n ,\ldots$ por:
$$x_0 = 1, x_{n + 1} = [\lambda x_n],$$ para $n = 0, 1, 2,\ldots$
Hallar el residuo (resto) de la división de $x_{ 1998}$ entre 1998.
NOTA: $[x]$ es el único entero $k$ tal que $k\leq x \leq k + 1$.

 Hallar el máximo valor posible de $n$ para que existan puntos distintos $P_1, P_2, P_3,\ldots,P_n$ en el plano y números reales $r_1, r_2,\ldots, r_n$ de modo que la distancia entre cualesquiera dos puntos diferentes $P_i$ y $P_j$ sea $r_i + r_j$.

Alrededor de una mesa redonda están sentados representantes de $n$ países ($n\geq 2$), de tal manera que si dos representantes son del mismo país, entonces sus vecinos de la derecha no son del mismo país. Determinar, para cada $n$, el número máximo de personas que pueden sentarse alrededor de la mesa.