Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Un juego de azar

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 21:41.

Una máquina de juego de un casino tiene una pantalla en la que se ofrece un esquema como el de la figura.


Para comenzar el juego aparece una bola en el punto $S$. A cada impulso que recibe del jugador, esa bola se mueve hasta una de las letras adyacentes con la misma probabilidad para cada una de ellas. La partida termina al ocurrir el primero de los dos hechos siguientes:

  • a) La bola vuelve a $S$ y entonces el jugador pierde.
  • b) La bola llega a $G$ y entonces el jugador gana.

Se pide la probabilidad de que el jugador gane y la duración media de las partidas.

Problema

Distancias entre puntos de una cuadrícula

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 21:37.

Se dan 16 puntos formando una cuadrícula como en la figura

De ellos se han destacado $A$ y $D$. Se pide fijar,de todos los modos posibles, otros dos puntos $B$ y $C$ con la condición de que las seis distancias determinadas por los cuatro puntos sean distintas. En ese conjunto de cuaternas, estudiar:

Problema

Triángulo aritmético

Enviado por jmd el 19 de Diciembre de 2011 - 21:30.

Sea dado el triángulo aritmético

0 1 2 3 4 ............. 1991 1992 1993
 1 3 5 7...................... 3983 3985
  4 8 12............................. 7968
...
(donde cada número es la suma de los dos que tiene encima, cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Demostrar que el último número es múltiplo de 1993.

Problema

Segmentos formados por n puntos

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 21:29.

Se tienen $n$ puntos distintos $A_1, A_2,\ldots,A_n$ en el plano y a cada punto $A_i$ se ha asignado un número real $\lambda$ distinto de cero, de manera que $\overline{A_iA_j}^2=\lambda_i+\lambda_j$, para todos los $i,j,i\neq j$
 Demuestre que
(a) $n\leq 4$
(b) Si $n = 4$, entonces $\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}+\frac{1}{\lambda_3}+\frac{1}{\lambda_4}=0$

Problema

Coloreo de triángulos con fichas

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 21:17.

Tres fichas $A, B, C$ están situadas una en cada vértice de un triángulo equilátero de lado $n$. Se ha dividido el triángulo en triangulitos equiláteros de lado 1, tal como muestra la figura en el caso $n = 3$.

Inicialmente todas las líneas de la figura están pintadas de azul. Las fichas se desplazan por las líneas, pintando de rojo su trayectoria, de acuerdo con las dos reglas siguientes:

Problema

Suma de fracciones 1/ab

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 21:16.

Dado un número natural $n\geq 2$ considere todas las fracciones de la forma $1/ab$, donde $a$ y $b$ son números naturales, primos entre sí y tales que $$a < b \leq n$$ $$a + b \gt n$$ Demuestre que para cada $n$, la suma de estas fracciones es 1/2.

 

Problema

Método para distribuir ceros y unos en un tablero

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 21:13.

Tenemos un tablero cuadriculado de $k^2 - k + 1$ filas y $k^2 - k + 1$ columnas, donde $k = p + 1$ y $p$ es un número primo. Para cada primo $p$, dé un método para distribuir números entre 0 y 1, un número en cada casilla del tablero, de modo que en cada fila haya exactamente $k$ números $0$ en cada columna haya exactamente $k$ números $0$ y además no haya ningún rectángulo de lados paralelos a los lados del tablero con números 0 en sus cuatro vértices.

 

Problema

Punto medio de la mediana

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 21:11.

 Sea $M$ el punto medio de la mediana $AD$ del triángulo $ABC$ ($D$ pertenece al lado $BC$). La recta $BM$ corta al lado $AC$ en el punto $N$. Demuestre que $AB$ es tangente a la circunferencia circunscrita al triángulo $NBC$ si, y sólo si, se verifica la igualdad $$\frac{BM}{MN}=\left(\frac{BC}{BN}\right)^2$$

Problema

Cubo formado por 1996 cubos

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 21:09.

Sea $n$ un número natural. Un cubo de arista $n$ puede ser dividido en $1996$ cubos cuyas aristas son también números naturales. Determine el menor valor posible de $n$.

Problema

... y se forma un trapecio isósceles...

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 15:38.

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F$, respectivamente. Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a $AD$ en su punto medio $X$, es decir, $AX = XD$. Las rectas $XB$ y $XC$ cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en $Y$ y en $Z$, respectivamente. Demuestre que $EY = FZ$.

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