Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Suma de las raíces de un polinomio

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 08:18.

Sean dados la colección de $n$ números reales positivos $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$, y la función$$f(x)=\frac{a_1}{x+a_1}+\frac{a_2}{x+a_2}+\ldots +\frac{a_n}{x+a_n}$$ Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los valores de $x$ tales que $f(x)\gt 1$.

Problema

Suma de una sucesión

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 08:16.

Para cada entero positivo $n$, sea $a_n$ el último dígito del número $1+2+3+ ...+n$. Calcular $a_1 + a_2 + a_3 +\ldots+a_{1992}$.

Problema

Construir un triángulo (dados ortocentro y dos puntos medios)

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:38.

Dados 3 puntos no alineados $M, N, P$, sabemos que $M$ y $N$ son puntos medios de dos lados de un triángulo y que $P$ es el punto de intersección de las alturas de dicho triángulo. Construir el triángulo.

Problema

¿Puedes maliciar que es suma de dos cuadrados?

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:36.

Sea $P(X,Y) = 2X^2 - 6XY + 5Y^2$. Diremos que un número entero $A$ es un valor de $P$ si existen números enteros $B$ y $C$ tales que $A = P(B,C)$.

  • i) Determinar cuántos elementos de $\{1, 2, 3, ... ,100\}$ son valores de $P$.
  • ii) Probar que el producto de valores de $P$ es un valor de $P$.
Problema

Combinatoria con números de 3 cifras distintas elegidas de entre 5

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:34.

Encontrar un número $N$ de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con las cinco cifras de $N$.

Problema

Función creciente en [0,1]

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:33.

Sea $F$ una función creciente definida para todo número real $x$, $0\leq x \leq 1, tal que:

  • (a) $F(0) = 0$
  • (b) $F(x/3) = F(x)/2$
  • (c) $F(1-x) = 1 - F(x)$

Encontrar $F(18/1991)$

 

Problema

Dos perpendiculares seccionan un cuadrado

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:30.

Dos rectas perpendiculares dividen un cuadrado en cuatro partes, tres de las cuales tienen cada una área igual a 1. Demostrar que el área del cuadrado es cuatro.

Problema

Sumas de 14 más menos unos

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 22:29.

A cada vértice de un cubo se asigna el valor de +1 o -1, y a cada cara el producto de los valores asignados a cada vértice. ¿Qué valores puede tomar la suma de los 14 números así obtenidos?

Problema

Recorridos en un tablero

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 19:03.

Sean $A$ y $B$ vértices opuestos de un tablero cuadriculado de $n$ por $n$ casillas ($n\geq 1$), a cada una de las cuales se añade su diagonal de dirección $AB$, formándose así $2n^2$ triángulos iguales. Se mueve una ficha recorriendo un camino que va desde $A$ hasta $B$ formado por segmentos del tablero, y se coloca, cada vez que se recorre, una semilla en cada uno de los triángulos que admite ese segmento como lado.

Problema

¿Cómo se demuestra circunferencia ortogonal?

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 19:01.

Sean $C_1$ una circunferencia, $AB$ uno de sus diámetros, $t$ su tangente en $B$, y $M$ un punto de $C_1$ distinto de $A$. Se construye una circunferencia $C_2$ tangente a $C_1$ en $M$ y a la recta $t$.

  • a) Determinar el punto $P$ de tangencia de $t$ y $C_2$ y hallar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias al variar $M$.
  • b) Demostrar que existe una circunferencia ortogonal a todas las circunferencias $C_2$.

NOTA: Dos circunferencias son ortogonales si se cortan y las tangentes respectivas en los puntos de intersección son perpendiculares.

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