Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Desigualdad trigonométrica

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 10:50.

Sean $x, y, z$ tres números reales tales que $0 < x < y < z < \pi/2$. Demostrar la desigualdad:
$$\pi/2 + 2\sin x\cos y + 2\sin y \cos z\gt \sin 2x + \sin 2y + \sin 2z$$

 

Problema

Sistema no lineal de ecuaciones

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 10:44.

Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de
ecuaciones siguiente:
\begin{eqnarray*}
x + y - z &=& -1\\
x^2 - y^2 + z^2 &=& 1\\
-x^3 + y^3 + z^3 &=& -1
\end{eqnarray*}

Problema

Sucesión libre de promedios

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 20:59.

Considere los conjuntos de $n$ números naturales diferentes de cero en los cuales no hay tres elementos en progresión aritmética. Demuestre que, en uno de esos conjuntos, la suma de los inversos de sus elementos es máximo.

 

Problema

Ejercicio no trivial en álgebra

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 20:56.

Considere las expresiones de la forma $x + yt + zt^2$, con $x, y, z$ números racionales, y $t^3=2$. Demuestre que si $x + yt +zt^2\neq 0$, entonces existen $u, v, w$ racionales tales que $(x + yt + z^2)(u + vt + wt^2)= 1$

 

Problema

¿Cómo se calcula la longitud de una ceviana?

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 20:54.

Sea $ABC$ un triángulo cuyos lados son $a, b, c$. Se divide cada lado del triángulo en "n" segmentos iguales. Sea $S$ la suma de los cuadrados de las distancias de cada vértice a cada uno de los puntos de división del lado opuesto distintos de los vértices. Demuestre que $$\frac{S}{a^2+b^2+c^2}$$ es un número racional.

 

Problema

¿Cómo se definía elipse?

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 20:53.

Demuestre que entre todos los triángulos cuyos vértices distan 3, 5 y 7, de un punto
dado P, el que tiene mayor perímetro admite a $P$ como su incentro.

 

Problema

Seis naturales no nulos

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 20:50.

Sean $a,b,c,d,p$ y $q$ números naturales no nulos que verifican $ad - bc = 1$, y $$\frac{a}{b}\gt \frac{p}{q}\gt \frac{c}{d}$$
Demostrar que

  • $q\geq b+d$
  • Si $q=b+d$ entonces $p=a+c$

 

Problema

Puntos en lados opuestos de un cuadrilátero

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 19:59.

 Sean $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo, y $P$ y $Q$ puntos de $AD$ y $BC$, respectivamente, tales que
$$\frac{AP}{PD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BQ}{QC}$$
Demuestre que los ángulos que forma la recta $PQ$ con las rectas $AB$ y $DC$ son iguales.

Problema

Raíces de una ecuación cúbica

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 19:39.

 Si $r, s$ y $t$ son las raíces de la ecuación $$x(x-2)(3x-7)=2$$
a) Demuestre que $r,s$ y $t$ son positivos.
b) Calcule $\arctan{r}+\arctan{s}+\arctan{t}$

Problema

El truco es conjugar

Enviado por jmd el 7 de Diciembre de 2011 - 19:31.

 Pruebe que si $m, n, r$ son enteros positivos, no nulos, y $$1+m+n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^{2r-1}$$, entonces $m$ es un cuadrado perfecto.

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