Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Cardinalidad de un conjunto finito de puntos

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 09:43.

Sean $P$ y $Q$ dos puntos distintos en el plano. Denotemos por $m (PQ)$ la mediatriz del segmento $PQ$. Sea $S$ un subconjunto finito del plano, con más de un elemento, que satisface las siguientes propiedades:

  • a) Si $P$ y $Q$ están en $S$, entonces $m (PQ)$ intersecta a $S$.
  • b) Si $P_1Q_1, P_2Q_2, P_3Q_3$ son tres segmentos diferentes cuyos extremos son puntos de $S$, entonces no existe ningún punto de $S$ en la intersección de las tres líneas $m(P_1Q_1), m(P_2Q_2),m(P_3Q_3$).

Determine el número de puntos que puede tener $S$.

 

Problema

Una forma complicada de definir una función elemental

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 09:37.

 Sea $N^* = \{1, 2, 3, \ldots \}$. Halle todas las funciones $f: N^* \mapsto N^*$ tales que:

  • i) si $x < y$, entonces $f(x) < f(y)$
  • ii) $f(y f(x)) = x^2f(xy)$, para todos los $x, y\in N^*$.
Problema

Construcción de un trapecio inscrito

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:27.

Se dan la circunferencia $\Gamma$ y los números positivos $h, m$ de modo que existe un trapecio $ABCD$, inscrito en $\Gamma$, de altura $h$ y tal que la suma de sus bases $AB$ y $CD$ es $m$. Construir el trapecio $ABCD$.

Problema

Dos sucesiones recursivas

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:24.

Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones de números enteros que verifican las siguientes condiciones:

  • i) $a_0 = 0, b_0 = 8$
  • ii) $a_{n+2} = 2a_{n+1}-a_n+2, b_{n+2}=2b_{n+1}-b_n$
  • iii) $a_n^2+b_n^2$ es un cuadrado perfecto para todo $n$.

Determinar al menos dos valores del par $(a_{1992}, b_{1992})$.

Problema

Suma de las raíces de un polinomio

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:18.

Sean dados la colección de $n$ números reales positivos $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$, y la función$$f(x)=\frac{a_1}{x+a_1}+\frac{a_2}{x+a_2}+\ldots +\frac{a_n}{x+a_n}$$ Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los valores de $x$ tales que $f(x)\gt 1$.

Problema

Suma de una sucesión

Enviado por jmd el 10 de Diciembre de 2011 - 07:16.

Para cada entero positivo $n$, sea $a_n$ el último dígito del número $1+2+3+ ...+n$. Calcular $a_1 + a_2 + a_3 +\ldots+a_{1992}$.

Problema

Construir un triángulo (dados ortocentro y dos puntos medios)

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 21:38.

Dados 3 puntos no alineados $M, N, P$, sabemos que $M$ y $N$ son puntos medios de dos lados de un triángulo y que $P$ es el punto de intersección de las alturas de dicho triángulo. Construir el triángulo.

Problema

¿Puedes maliciar que es suma de dos cuadrados?

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 21:36.

Sea $P(X,Y) = 2X^2 - 6XY + 5Y^2$. Diremos que un número entero $A$ es un valor de $P$ si existen números enteros $B$ y $C$ tales que $A = P(B,C)$.

  • i) Determinar cuántos elementos de $\{1, 2, 3, ... ,100\}$ son valores de $P$.
  • ii) Probar que el producto de valores de $P$ es un valor de $P$.
Problema

Combinatoria con números de 3 cifras distintas elegidas de entre 5

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 21:34.

Encontrar un número $N$ de cinco cifras diferentes y no nulas, que sea igual a la suma de todos los números de tres cifras distintas que se pueden formar con las cinco cifras de $N$.

Problema

Función creciente en [0,1]

Enviado por jmd el 9 de Diciembre de 2011 - 21:33.

Sea $F$ una función creciente definida para todo número real $x$, $0\leq x \leq 1, tal que:

  • (a) $F(0) = 0$
  • (b) $F(x/3) = F(x)/2$
  • (c) $F(1-x) = 1 - F(x)$

Encontrar $F(18/1991)$

 

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