Avanzado

Problemas de nivel nacional.
Problema

Colinealidad en configuración de cíclico con ortodiagonales

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:45.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$, $K$ el punto de intersección de las diagonales, $L\neq O$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas a $OAC$ y $OBD$, y $G$ el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $ABCD$. Demostrar que $O,K, L,G$ están alineados.

Problema

Medias enteras

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:43.

Las medias aritmética, geométrica y armónica de dos enteros positivos distintos son todas números enteros. Hallar el menor valor posible de la media aritmética de los dos enteros.

Problema

Concurrencia en configuración de in y circuncírculos

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:41.

Sea $\Gamma$ el incírculo de un triángulo escaleno $ABC$, que es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$ respectivamente. Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $G$. La circunferencia de diámetro $GD$ corta a $\Gamma$ por segunda vez en $R$. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección (distintos de $R$) de $\Gamma$ con $BR$ y $CR$, respectivamente. Las rectas $BQ$ y $CP$ se cortan en $X$, el circuncírculo de $CDE$ corta a $QR$ en $M$ y el circuncírculo de $BDF$ corta a $PR$ en $N$. Demostrar que $PM, QN$ y $RX$ son concurrentes.

Problema

Sucesión en enteros indecisa

Enviado por jmd el 11 de Enero de 2012 - 19:31.

Decidir si existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que todos los términos de la sucesión $(X_n)$, definida como $X_1 =2010, X_2 = 2011$, $$X_{n+2} = X_n + X_{n+1} + a\sqrt{X_nX_{n+1} + b}$$ son números enteros.

Problema

El juego de biribol

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:11.

En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro jugadores cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. Determinar para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características.

Problema

Desigualdad con áreas de dos triángulos

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:10.

Sean $ABC$ un triángulo y $X,Y,Z$ puntos interiores de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $A',B',C'$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $AZY,BXZ,CYX$, respectivamente. Demuestre que:
$$(A'B'C')\geq (ABC)/4$$
y que la igualdad ocurre si y sólo si $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes.

Nota: Para un triángulo cualquiera $RST$, denotamos su área con $(RST)$.

Problema

Ecuación sin soluciones enteras

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:09.

Pruebe que la ecuación $$x^{2008}+2008!=21^y$$ no tiene soluciones enteras $(x,y)$

Problema

Divisibilidad en un polinomio cúbico

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:08.

Sean $m$ y $n$ números enteros tales que el polinomio $P(x)=x^3+mx+n$ tiene la siguiente propiedad: si $x$ y $y$ son enteros y 107 divide a $P(x)-P(y)$, entonces 107 divide a $x-y$. Demuestre que divide a 107 divide a $m$.

Problema

Bisectriz externa en un escaleno

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:06.

Sean $ABC$ un triángulo escaleno y $l$ la bisectriz exterior del $\angle{ABC}$. Sean $P$  y  $Q$ los pies de las perpendiculares a la recta $l$ que pasan por $A$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ las intersecciones de $CP$ y $AB$ y $AQ$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que las rectas $AC,MN$ y $l$ tienen un punto en común.

Problema

Familia de hexágonos convexos

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 08:39.

Sea $F$ la familia de todos los hexágonos convexos $H$ que satisfacen las siguientes condiciones:

  • (a) los lados opuestos de $H$ son paralelos;
  • (b) tres vértices cualesquiera de $H$ se pueden cubrir con una franja de ancho 1.

Determinar el menor número real $l$ tal que cada uno de los hexágonos de la familia $F$ se puede cubrir con una franja de ancho $l$.

Nota: Una franja de ancho $l$ es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia $l$ (incluidas ambas rectas paralelas).

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