Avanzado

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con sus vértices sobre la circunferencia $\mathcal C$.

Sea $l$ la recta tangente a $\mathcal C$ en el punto $A$. La circunferencia con centro $B$ y radio $BA$ intersecta a la recta $l$ en $D$ y a la recta $AC$ en $E$. Muestra que la recta $DE$ pasa por el ortocentro del triángulo $ABC$.

Nota: El ortocentro de un triángulo es el punto donde concurren las tres alturas del triángulo.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $H$ su ortocentro y $D$ el pie de altura desde $A$ a $BC$, de tal forma que $AH=HD$. Sea $\mathcal{Z}$ el circuncírculo de $BHC$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\mathcal{Z}$ por $H$, de tal forma que $\ell$ corta a $AB$ en $S$ y a $AC$ en $T$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$ respectivamente. Demuestra que $SM$ es paralela a $TN$.

Alicia y Bazza juegan al $inekoalaty$, un juego para dos jugadores cuyas reglas dependen de un número real positivo $\lambda$ conocido por ambos. En el turno $n$ del juego (comenzando con $n=1$) ocurre lo siguiente:

• Si $n$ es impar, Alicia elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1 + x_2 + \dots + x_n \leq \lambda n$$
• Si $n$ es par, Bazza elije un número real no negativo $x_n$ tal que: $$x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \leq n$$

Si un jugador no puede elegir un $x_n$ adecuado, el juego termina y el otro jugador gana. Si el juego continúa indefinidamente ningún jugador gana. Ambos jugadores conocen todos los números elegidos. 

Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$.

La sucesión infinita $a_1, \ a_2, \dots$ está formada por enteros positivos, cada uno con al menos 3 divisores propios. Para cada $n \geq 1$ el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$.

Determina todos los valores posibles de $a_1$.

Sea $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$  respectivamente tales que el radio de $\Omega$ es menor al radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C, \ M,\  N, \ D$ están en esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E \neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F \neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $PMN$.

Demuestre que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente al circuncírculo del triángulo $BEF$.

Una recta del plano se llama $soleada$ si no es paralela ni al eje $x$, ni al eje $y$, ni a la recta $x+y=0$. 

Sea $n \geq 3$ un entero dado. Determine todos los enteros no negativos $k$ para los que existen $n$ rectas distintas del plano tal que:

• Para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b \leq n+1$, el punto $(a,b)$ está en al menos una de las rectas
• Exactamente $k$ de estas $n$ rectas son soleadas

Encuentra todas las parejas de enteros positivos $(n, m)$ que cumplan lo siguiente: existe un entero impar $r$ con $0<r \leq m-1$, y una permutación $\{a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n\}$ de $\{2, 3, \dots , 2n, 2n+1\}$ tales que los $n$ números

$$a_1b_1-r, a_2b_2-r, \dots , a_nb_n-r$$

son todos múltiplos de $m$. 

Sea $n$ un entero positivo. Se numeran los renglones y las columnas de una cuadrícula de $n \times n$ del 1 al $n$. Dentro de cada cuadrito se escribe un entero no-negativo de manera que el entero escrito en el cuadrito del renglón $i$ y la columna $j$ es igual a la cantidad de cuadritos que tienen escrito el producto $i \cdot j$. Determina de cuántas maneras se puede hacer esto.

Sean $a, b, c, d$ números reales positivos. Demuestra que:

$$\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}\right)^4 \geq \frac{64abcd}{a^4+b^4+c^4+d^4}$$