III OIM 1988

Problema

Sucesión libre de promedios

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:59.

Considere los conjuntos de $n$ números naturales diferentes de cero en los cuales no hay tres elementos en progresión aritmética. Demuestre que, en uno de esos conjuntos, la suma de los inversos de sus elementos es máximo.

 

Problema

Ejercicio no trivial en álgebra

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:56.

Considere las expresiones de la forma $x + yt + zt^2$, con $x, y, z$ números racionales, y $t^3=2$. Demuestre que si $x + yt +zt^2\neq 0$, entonces existen $u, v, w$ racionales tales que $(x + yt + z^2)(u + vt + wt^2)= 1$

 

Problema

¿Cómo se calcula la longitud de una ceviana?

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:54.

Sea $ABC$ un triángulo cuyos lados son $a, b, c$. Se divide cada lado del triángulo en "n" segmentos iguales. Sea $S$ la suma de los cuadrados de las distancias de cada vértice a cada uno de los puntos de división del lado opuesto distintos de los vértices. Demuestre que $$\frac{S}{a^2+b^2+c^2}$$ es un número racional.

 

Problema

¿Cómo se definía elipse?

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:53.

Demuestre que entre todos los triángulos cuyos vértices distan 3, 5 y 7, de un punto
dado P, el que tiene mayor perímetro admite a $P$ como su incentro.

 

Problema

Seis naturales no nulos

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:50.

Sean $a,b,c,d,p$ y $q$ números naturales no nulos que verifican $ad - bc = 1$, y $$\frac{a}{b}\gt \frac{p}{q}\gt \frac{c}{d}$$
Demostrar que

  • $q\geq b+d$
  • Si $q=b+d$ entonces $p=a+c$

 

Problema

Lados y alturas en progresión aritmética, equilátero

Enviado por jmd el 8 de Diciembre de 2011 - 21:48.

Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética. Demuestre que el triángulo es equilátero.

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