Intermedio
Problema 3 de la OMM 2008
Considera un tablero de ajedrez. Los números del 1 al 64 se escriben en las casillas del tablero como en la figura:
Elige los signos en la suma
¿Existirá alguna manera de elegir los símbolos $ + $ y $ - $ para que se satisfaga la igualdad $ \pm 1 \pm 2 \pm \cdots \pm 100 = 13^2 $ ?
Trisección de un segmento y triángulos equilateros
Sea $ ABC $ un triángulo equilatero, $ M $ el punto medio de $ BC $. Considera $ P $ y $ Q $ los dos puntos fuera del triángulo $ ABC $ tales que los triángulos $ BMP $ y $ MQC $ son equilateros. Llamemos $ S $ y $ T $ a los puntos de intersección de $ AP $ y $ AQ $ con el segmento $ BC $ respectivamente. Demuestra que $ S $ y $ T $ trisectan al segmento $ BC $.
Un ejercicio clásico de potencias
En la siguiente figura, desde un vértice del cuadrado está trazada una tangente. El lado del cuadrado mide 1 y la longitud de la tangente es 2. Encuentra el radio de la circunferencia.
Cómo rellenar un rectángulo con fichas
Para cada par de números naturales $a,b>1$ definamos $P_{a \times b}$ como el polígono que se forma a partir de un rectángulo de $a \times b$ removiendo dos cuadrados de $1 \times 1$ en dos esquinas opuestas . Demuestra que $P_{a \times b}$ se puede cubrir con rectángulitos de $1 \times 2$ sin que se traslapen si y sólo si $ a $ y $ b $ tienen distinta paridad.
El abuelo y la niña generalizado
Kika tiene $ n $ objetos. Un día llega de la escuela y… ¡Abuelo! ¡Abuelo! Perdí $ x $. Y el abuelo la consuela: piensa en que si hubieses encontrado $ x $, ahora tendrías $ y $ veces los que ahora tienes. Encontrar todas las parejas $(x, n)$ en términos de $ y $, para que el diálogo entre la niña y el abuelo tenga sentido en enteros positivos ($x, y, n$ enteros positivos).
(El problema original dice: perdí 2. Y el abuelo dice: si hubieses encontrado 2 ahora tendrías 5 veces los que ahora tienes.)
Construir un cuadrado con tres puntos dados
Se tienen dados, un vértice V de un cuadrado y dos puntos A y B. Los puntos A y B se encuentran sobre dos lados (o prolongaciones de los lados) del cuadrado antes mencionado. Estos dos lados son precisamente los opuestos al vértice V, es decir, los que no lo contienen.
Usando regla y compás, construye el cuadrado.
— Problema sugerido por Hugo Espinosa Pérez 10/Oct/2008 15:07
¿Cuál es la invariante?
En las siguientes cuadriculas, se dice que dos cuadrados son adyacentes, si comparten un lado. Considere la siguiente operación T: se eligen cualesquiera dos números en cuadrados adyacentes y a ambos se les suma el mismo entero. ¿Se puede transformar el tablero de la izquierda en el de la derecha mediante iteraciones de T?.
Un problema de igualdad de areas
Sean $ABCD$ un paralelogramo, $ E $ un punto sobre la recta $AB$, mas allá de $ B $, $ F $ un punto sobre la recta $AD$, mas allá de $ D $, y $ K $ el punto de intersección de las rectas $ED$ y $BF$. Demuestre que los cuadriláteros $ABKD$ y $CEKF$ tienen la misma área.
Un sistema diofantino irracional
Determine todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos, tales que $x+y=a^n$ y $x^2+y^2=a^m$ para algunos enteros positivos $a, m, n.$
