Si $A$ y $B$ son subconjuntos ajenos del conjunto $\{1,2,\ldots,m\}$ y la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B$, pruebe que el número de elementos de $A$ y también de $B$ es menor que $m/\sqrt{2}$
Solución
Solución:
Digamos que $A$ es el que tiene más elementos, digamos $k$.
Lo menos que pueden sumar sus elementos es $1+2 + \cdots + k = k(k+1)/2$
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Como esa suma debe coincidir con la de $B$ y ambas deben sumar a lo más la suma de todo la lista $1+2+ \cdots + m =m(m+1)/2$, la suma de los elemenos de $A$ es a lo más $m(m+1)/4$ (la mitad del total)
Entonces debe cumplirse que $k(k+1)/2 \leq m(m+1)/4$. De ésta desigualdad se deduce que $k < m/\sqrt{2} $. A continuación presentamos los detalles de esta dedución:
Expandiendo se obetine: $$2k^2 + 2k + 2 \leq m^2 + m$$
Sumando un medio de ambos lados, para completar el cuadrado: $$2(k + 1/2)^2 \leq m^2 +m - 3/2$$
Despejando $k$: $$k \leq \frac{\sqrt{2m^2 +2m - 3}}{2} - \frac{1}{2}$$
Finalmente se observa que $$\frac{\sqrt{2m^2 +2m - 3}}{2} - \frac{1}{2} < \frac{m}{\sqrt{2}}.$$
Esta última identidad la probamos como sigue:
\begin{eqnarray*}
\frac{\sqrt{2m^2 +2m - 3}}{2} - \frac{1}{2} &<& \frac{m}{\sqrt{2}} \quad \Leftrightarrow \\
\sqrt{2m^2 +2m - 3} -1&<& \sqrt{2}m \quad \Leftrightarrow \\
\sqrt{2m^2 +2m - 3} &<& \sqrt{2}m +1 \quad \Leftrightarrow \\
2m^2 +2m - 3 &<& (\sqrt{2}m +1)^2 \quad \Leftrightarrow \\
2m^2 +2m - 3 &<& 2m^2 + 2\sqrt{2}m + 1 \quad \Leftrightarrow \\
2m - 3 &<& 2\sqrt{2}m + 1 \quad \Leftrightarrow \\
2m - 4 &<& 2\sqrt{2}m \quad \Leftrightarrow \\
-4 &<& 2(\sqrt{2}-1)m \quad \Leftrightarrow \\
\end{eqnarray*}
Y esa última desigualdad es claramente cierta pues $m>0$ y $\sqrt{2}-1 >0$
