Problemas - Teoría de números

Problema

Un sistema diofantino irracional

Enviado por jmd el 2 de Octubre de 2008 - 08:04.

 Determine todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos, tales que $x+y=a^n$ y $x^2+y^2=a^m$ para algunos enteros positivos $a, m, n.$


 

Problema

metodo chino del resto y ptf

Enviado por jmd el 14 de Septiembre de 2008 - 20:09.

Sea $f(n)=5n^{13}+13n^5+9an$. Encontrar el mínimo entero positivo$ a $ para el cual $f(n)$ es divisible entre $65$ para cada entero $ n $.

Problema

Método del residuo chino

Enviado por jmd el 11 de Septiembre de 2008 - 05:51.

Una compañía de n soldados es tal que:

– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.) – Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.

Problema

sobre consecutivos y cuadrados perfectos

Enviado por jesus el 22 de Julio de 2008 - 13:41.

Demostrar que el producto de 4 enteros consecutivos, sumándole 1, siempre es un cuadrado perfecto.

Problema

Sobre primos y cuadrados perfectos

Enviado por jesus el 22 de Julio de 2008 - 13:22.

Encontrar todos los primos p < q < r tales que

  • 25pq + r = 2004 y
  • pqr + 1 es cuadrado perfecto.
Problema

Una progresion aritmetica de cuadrados

Enviado por jesus el 22 de Julio de 2008 - 12:33.

Demostrar que tres cuadrados perfectos en progresión aritmética tienen una diferencia constante que es múltiplo de 24.(En otras palabras, si $c^2 - b^2 = b^2 - a^2 = d$, entonces $ d $ es múltiplo de 24.)

Problema

Cuadrado perfecto y Factorial

Enviado por jesus el 22 de Julio de 2008 - 11:33.

Demostrar que $n! + 2004$ no es cuadrado perfecto para ningún entero positivo $ n $.

Problema

IMO 2008 (Problema 3)

Enviado por jesus el 21 de Julio de 2008 - 20:11.

Demuestra que existen infinitos enteros n tales que n2 + 1 tiene un divisor primo mayor que $2n+\sqrt{2n}$.

Problema

Cuadrado perfecto

Enviado por jmd el 9 de Julio de 2008 - 08:16.

Encontrar todos los enteros positivos de cuatro cifras que son cuadrados perfectos y tales que son de la forma aabb, es decir, las primeras dos cifras se repiten así como las dos últimas.

Problema

Clave secreta

Enviado por jmd el 5 de Julio de 2008 - 11:19.

Clave secreta

a) cinco cifras (dígitos)

b) el número es par

c)exactamente uno de los dígitos es impar

d)exactamente una de las cifras se repite, la que se repite es par y aparece en dos posiciones no consecutivas de la clave secreta

¿Cuántas claves (números de 5 cifras) son posibles bajo estas condiciones?