Publicaciones Recientes

Problema

P8. Al menos $n-2$ enteros primos en la secuencia $2^kn$

Enviado por jesus el 13 de Junio de 2024 - 21:09.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que los $n$ números \[2n+1, \quad 2^2n+1,\quad \dots,\quad 2^nn+1\] se tiene que $n$, $n-1$ o $n-2$ de ellos son números primos.

Problema

P7. Raíces de cuadráticas

Enviado por jesus el 13 de Junio de 2024 - 12:33.

Consideremos la ecuación cuadrática $x^2+a_0x+b_0$ para algunos reales $(a_0, b_0)$. Repetimos el siguiente proceso tantas veces como sea posible:

Tomamos $r_i$, $s_i$ las raíces de la ecuación $x^2+a_ix +b_i=0$ y $c_i = \min\{r_i, s_i\}$. Y escribimos la nueva ecuación $x^2 +b_ix +c_i$. Es decir, para la repetición $i+1$ del proceso $a_{i+1} = b_i$ y $b_{i+1} = c_i$

Decimos que $(a_0, b_0)$ es una pareja interesante si, después de un número finito de repeticiones, cuando volvemos a realizar el proceso de la nueva ecuación escrita es la misma que la anterior, de manera que $(a_{i+1}, b_{i+1}) = (a_i,b_i)$

Nota: Las raíces de una ecuación son los valores de $x$ tales que $x^2+ax+b=0$

Problema

P6. Tablero 4x4 y paridad de coloreado

Enviado por jesus el 13 de Junio de 2024 - 12:25.
En un tablero $4 \times 4$ cada casilla se colorea de negro o blanco de tal manera que cada fila y cada columna tenga una cantidad par de casillas negras. ¿De cuántas maneras se puede colorear el tablero?
Problema

P5. Calcula el área del cudrilátero DHEO

Enviado por jesus el 13 de Junio de 2024 - 11:44.

Se tiene el triángulo acutángulo $ABC$. El segmento $BC$ mide 40 unidades. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $O$ su circuncentro. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $E$ el pie de la altura desde $B$. Además el punto $D$ parte al segmento $BC$ de manera que $\frac{BD}{DC} = \frac{3}{5}$. Si la mediatriz del segmento $AC$ pasa por el punto $D$, calcula el área del cuadrilátero $DHEO$.

Nota: El ortocentro es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. El circuncentro es el centro del círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

Problema

P4. Ana y Beto coloreando cuadrados

Enviado por jesus el 12 de Junio de 2024 - 14:25.

Hay 6 cuadrados en una fila. Cada uno se etiqueta con el nombre de Ana o Beto y con un número del 1 al 6, usando cada cada número sin repetir. Ana y Beto juegan a pintar cada cuadrado siguiendo el orden de los números en las etiquetas. Quien pinte el cuadrado será la persona cuyo nombre esté en la etiqueta. Al pintarlo, la persona podrá elegir si pintar el cuadrado de rojo o azul. Beto gana si al final hay la misma cantidad de cuadrados azules como rojos, y Ana gana en caso contrario. ¿En cuántas de todas las posibles maneras de etiquetar los cuadrados puede Beto asegurar su cictoria?

El siguiente es un ejemplo de una asignación de etiquetas.

Problema

P3. Triángulo, Altura y punto en Mediatriz.

Enviado por jesus el 12 de Junio de 2024 - 13:39.
Sea $ABC$ un triángulo y $D$ el pie de la altura desde $A$. Sea $M$ un punto tal que $MB = MC$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones del circuncírculo de $BMD$ y $CMD$ con $AD$. Sean $G$ y $H$ las intersecciones de $MB$ y $MC$ con $AD$. Demuestra que $EG = FH$
Problema

P2. Papelitos con números y fracciones con raíces cuadradas racionales.

Enviado por jesus el 12 de Junio de 2024 - 12:51.

Se tienen 50 papelitos con los números del 1 al 50. Se quieren tomar 3 papelitos de tal manera que a cualquiera de los 3 números, dividido entre el máximo común divisor de los otros dos, se le puede sacar la raíz cuadrada de tal manera que quede un número racional.

¿Cuántas tercias (no ordenadas) de papelitos cumplen esta condición?

Nota: Un número es racional si se puede escribir como la división de 2 enteros.

Problema

P1. Ecuación cuadrática con sumatoria

Enviado por jesus el 12 de Junio de 2024 - 00:08.
Sea $x$ un número real. Determina la solución de la siguiente ecuación: \[ \frac{x^2 + 1}{1}+\frac{x^2 + 2}{2}+ \dots + \frac{x^2 + 2024}{2024} = 2024 \]
Entrada de blog

Resultados XXXVII OMM

Enviado por Samuel Elias el 11 de Noviembre de 2023 - 14:02.

Hola, les escribo desde mi casa XD, el día de hoy llegamos a Tamaulipas desde Durango, llegamos a las 7:00 am. La verdad, desde mi punto de vista como participante, el nacional estuvo muy triste, pude haber hecho más. Desde mi punto de vista como persona, es que esta olimpiada estuvo bastante bien como las demás, en los últimos 5 años Tamaulipas no ha caído en el rankin como solía hacerlo en años pasados, manteniendose siempre entre los mejores 16 del país, y en 2 ocasiones entrando en los mejores 8. 

Esta año, Tamaulipas quedó en 11° lugar, con los siguientes resultados:

Problema

P6 Primer problema real de funcionales

Enviado por Samuel Elias el 11 de Noviembre de 2023 - 10:12.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos {1, 2, ...}. Determina todas las funciones $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ tales que cualesquiera $m, n \in \mathbb{N}$ se cumple al mismo tiempo que:

$$f(m+n) \ |\ f(m) + f(n)$$ $$f(m)f(n)\ | \ f(mn)$$

Nota: $a | b$ quiere decir que el número entero $a$ divide al número entero $b$.

Distribuir contenido