Publicaciones Recientes
P6 OMM 1992. Muchas preguntas con un rectángulo
Sea $ABCD$ un rectángulo. Sean $I$ el punto medio de $CD$ y $M$ la intersección de $BI$ con la diagonal $AC$.
- 1. Pruebe que $DM$ pasa por el punto medio de $BC$.
-
2. Sea $E$ el punto exterior al rectángulo tal que $ABE$ sea un triángulo
isósceles y rectángulo en $E$. Además, supongamos que $BC = BE = a$.
Pruebe que $ME$ es bisectriz del ángulo $AMB$. - 3. Calcule el área del cuadrilátero $AEBM$ en función de $A$.
P5 OMM 1992. Desigualdad con suma de radicales
Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x + y + z = 3$. Si
$$S = \sqrt{2x + 3} + \sqrt{2y + 3} + \sqrt{2z + 3},$$
pruebe que $6 < S \leq 3\sqrt{5}$
P4 OMM 1992. Suma de potencias múltiplo de 100
Muestre que $100$ divide a la suma de potencias $$1+11^{11}+111^{111}+\ldots+1111111111^{1111111111}$$
P3 OMM 1992. Siete puntos en hexágono
Considere siete puntos dentro o sobre un hexágono regular y pruebe que
tres de ellos forman un triángulo cuya área es menor o igual que $\frac{1}{6}$ del
área del hexágono.
P2 OMM 1992. Cuartetas y múltiplos de un primo
Sea $p$ un número primo, diga cuántas cuartetas distintas $(a, b, c, d)$ existen, con a, b, c y d enteros y $0 \leq a, b, c, d \leq p-1$, tales que $ad - bc$ sea múltiplo de $p$.
P1 OMM 1992. Tetraedro isósceles
Un tetraedro $OPQR$ es tal que los ángulos $POQ, POR$ y $QOR$ son rectos. Muestre que si $X, Y, Z$ son los puntos medios de $PQ, QR$ y $RP$, respectivamente, entonces el tetraedro $OXYZ$ es isósceles, es decir, tiene sus 4 caras iguales.
P6 OMM 1991. Triángulos en un polígono
En un polígono de $ n $ lados, ($n \geq 4$) se considera una familia $T$ de triángulos, formados con los vértices del polígono, con la propiedad de que cada dos triángulos de la familia cumple alguna de las siguientes dos condiciones:
– No tienen dos vértices en común.
– Tienen dos vértices en común.
Demuestre que $T$ tiene a lo más $ n $ triángulos.
P5 OMM 1991. Suma de cuadrados cuadrado
La suma de los cuadrados de dos números consecutivos puede ser un cuadrado perfecto (por ejemplo $3^2 + 4^2 = 5^2$).
a) Pruebe que la suma de los cuadrados de $m$ enteros consecutivos no puede
ser un cuadrado para $m$ igual a 3 y 6.
b) Encuentre un ejemplo de 11 números consecutivos cuya suma de cuadrados sea un cuadrado perfecto.
P4 OMM 1991. Ocho puntos concíclicos
Considere un cuadrilátero convexo $ABCD$ en el que las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan formando ángulo recto. Sean $M, N, R$ y $S$ los puntos medios de los segmentos $AB, BC, CD$ y $AD$, respectivamente. Sean $W,X, Y$ y $Z$ las proyecciones de los puntos $M, N, R$ y $S$ sobre las rectas $DC, AD, AB$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que todos los puntos $M, N,R, S, W, X, Y$ y $Z$ están sobre una misma circunferencia.
P3 OMM 1991. Cuatro canicas en una esfera
Se tienen 4 canicas de radio uno colocadas en el espacio de tal manera que
cada una de ellas es tangente a las otras tres. ¿Cuál es el radio de la esfera
más pequeña que contiene a las canicas?
