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Suma de razones de segmentos
Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$. Los rayos $AP,BP,CP$ cortan los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$, respectivamente. Demostrar que
Método de áreas (revisitado)
Sean dados dos segmentos $AB$ y $PQ$, y suponga que los segmentos o sus prolongaciones se cortan en el punto $M$. Demostrar que la razón de las áreas de los triángulos $ABP$ y $ABQ$ es igual a la razón de las distancias de $P$ a $M$ y de $Q$ a $M$.
Ejercicio clásico (con descubrimiento semiguiado)
Sea $D$ un punto en la base $BC$ de un triángulo, y consideremos los triángulos $ABD$ y $ACD$.
- Demostrar que la razón de sus áreas es igual a la razón de sus bases $BD$ y $CD$.
- Demostrar que si $D$ es el punto medio de $BC$ entonces sus áreas son iguales.
- Demostrar que si $D$ es el punto en que la bisectriz del ángulo $A$ corta a la base $BC$, entonces $AB/AC=BD/CD$ (teorema de la bisectriz).
Reflexión de pies de alturas (P6)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sean $Y$ y $Z$ los pies de las perpendiculares desde $B$ y $C$ sobre $FD$ y $DE$, respectivamente. Sea $F_1$ la reflexión de $F$ con respecto a $E$ y $E_1$ reflexión de $E$ respecto a $F$. Si $3EF = FD+DE$ demuestra que $\angle BZF_1 = \angle CYE_1$.
Nota. La reflexión de un punto $P$ respecto a un punto $Q$ es el punto $P_1$ ubicado sobre la recta $PQ$ tal que $Q$ queda entre $P$ y $P_1$, y $PQ = QP_1$
Sistema de ecuaciones en tres variable (P5)
Los números reales positivos $x$, $y$, $z$ son tales que:
$$x+ \frac{y}{z} = y + \frac{z}{x} = z + \frac{x}{y} = 2$$
Determina todos los valores posibles de $x+y+z$.
Diofantina con tres primos (P4)
Encuentra todos los enteros positivos $p$, $q$ y $r$, con $p$ y $q$ números primos, que satisfacen la igualdad:
$$\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1} - \frac{1}{(p+1)(q+1)} = \frac{1}{r}$$
Desliz tras desliz te lleva a 5 (P3)
Aplicar un desliz a un entero $n \geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y remplazar $n$ por $\frac{n + p^2}{p}$.
Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido se le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número 5.
Triángulo escaleno (P2)
Sea $ABC$ un triángulo escaleno, $D$ el pie de la altura desde $A$, $E$ la intersección del lado $AC$ con la bisectriz del lado $\angle ABC$, y $F$ un punto sobre el lado $AB$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y sean $X$, $Y$ y $Z$ los puntos donde se cortan las rectas $AD$ con $BE$, $BE$ con $CF$, $CF$ con $AD$, respectivamente. Si $XYZ$ es un triángulo equilátero, demuestra que uno de los triángulos $OXY$, $OYZ$, $OZX$ es un triángulo equilátero.
Moscas en un cubo (P1)
En cada uno de los vértices de un cubo hay una mosca. Al sonar el silbato cada una de las moscas vuela a alguno de los vértices del cubo situado en una misma cara del vértice de donde partió, pero diagonalmente opuesto a éste. Al sonar el silbato ¿de cuántas maneras pueden volar las moscas de modo que en ningún vértice queden dos o más moscas?
Discusión sobre incírculos y excírculos
Voy a discutir en este post algunos conceptos relacionados con las circunferencias incrita y exinscrita. Dichos conceptos forman un todo y conviene aprenderlos en paquete --es muchísimo más fácil retenerlos en la memoria y comprenderlos si se aprenden en sus interconexiones.
Se trata de los conceptos de semiperímetro --en el contexto de ciertas simetrías entre las longitudes de las tangentes de circuncírculo y excírculos--, el concepto de puntos isotómicos, y el de los puntos de Gergonne y Nagel --como ejemplo de puntos conjugados isotómicos.
