Publicaciones Recientes
P2. Producto de primos y MCD.
Los conjuntos $A, \ B, \ C$ y $D$ cumplen las siguientes condiciones:
- Sus elementos son números enteros del 1 al 20.
- Cada conjunto tiene 4 elementos y no hay un mismo número en dos o más conjuntos distintos.
- Sean $P_a, \ P_b, \ P_c, \ P_d$ los productos de los números en los conjuntos $A, B, C, D$ respectivamente, y $Q_a, Q_b, Q_c, Q_d$ el producto de los factores primos distintos de $P_a, P_b, P_c, P_d$ respectivamente.
Se cumple que:
$$P_a \cdot P_b = P_c \cdot P_d$$
$$mcd(Q_a,Q_b)\cdot mcd(Q_c,Q_d) \leq 3$$
¿De cuántas maneras se pueden elegir los conjuntos?
P1. Desperdiciando agua en garrafones infinitos
Luna y sus amigas estan jugando con agua. Tienen $n$ garrafones vacíos de capacidad infinita y $m$ botellas llenas de agua, con $m>n$. Las botellas están ordenadas y numeradas $1, 2, \dots, m$, de la más pequeña a la más grande. La botella $i$ tarda exactamente $i$ segundos en vaciarse, para $1 \leq i \leq m$. Sus amigas van a vaciar el agua de las botellas en los garrafones siguiendo estas reglas:
P4. Numero primo vs cubo perfecto
Sea $p$ un número primo (positivo). El número $16p + 1$ es un cubo perfecto. ¿Cuáles son los posibles valores para $p$?
P3. DANI el ciclico
Sea $ABC$ un triángulo con $\angle CAB =90 ^ {\circ}$ e incentro $I$. Las bisectrices de $\angle C$ y $\angle B$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $E$ y $F$ respectivamente, e intersecan a la perpendicular de $BC$ por $A$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $D$ y $N$ los puntos medios de $PE$ y $QF$ respectivamente.
- Demuestra que los puntos $D, \ A, \ N, \ I$ están sobre una circunferencia.
- Demuestra que $DN$ es paralela a $BC$
P2. Recibe el doble presionando un botón.
Samuel tiene un cajero mágico que funciona de la siguiente manera: él ingresa una cantidad $x$ de dinero, siendo $x$ un entero positivo, y presiona un botón que le da el doble de la cantidad de dinero que hay (mas lo que ya tenía). Por ejemplo, si Samuel inserta 1 peso y presiona el botón, la máquina le dará 2 pesos, por lo que ahora tiene 3 pesos. Si presiona el botón una segunda vez, la máquina le devolverá 6 pesos. Y así sucesivamente. Si Samuel presiona el botón $n$ veces, cuánto dinero, en términos de $x$, tendrá en total?
P1. Brainrot matematico.
¿De cuántas formas puedo ordenar las letras de "$tralalerotralala$" de tal forma que las letras de "$tra$" respeten su orden? Ejemplo, $tratralalerolala$ es válido, pero $tralalerotarlala$ no lo es.
A mitad de semana :D
Hola a todos. Les escribo este blog para recordarles que aún están a tiempo de inscribirse a la Olimpiada de Matemáticas en Tamaulipas. Les agradezco muchísimo a todos los alumnos que se han inscrito, y a todos aquellos que le han dado el apoyo a la difusión :).
Quiero usar este espacio porque varios de los concursantes han preguntado si vamos a compartir las soluciones a los problemas. La respuesta es sí, pero al menos 1 día después de que cierren los exámenes. Las soluciones y los problemas serán publicados por este medio, y al final del año (diciembre) se juntarán en el mismo PDF todos los problemas con sus respectivas soluciones.
Empieza el proceso de la XXXIX OMM
Ya salió la convocatoria de la XXXIX Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Tamaulipas para las 3 modalidades (OMM, OMMEB y Femenil :D), misma que puede ser encontrada en la página de Facebook y en la página de Instagram.
Debido a que Matetam es también una comunidad, mencionaré por este blog la modalidad de los exámenes para OMM y OMM Femenil (para información de OMMEB contáctese con la maestra Montserrat Ávila).
P6. Borrando pizarrón hasta que ambos sumen un múltiplo de 3
Ana y Beto juegan en un pizarrón donde se han colocado los números del 1 al 2024. En cada turno Ana escoge tres números $a,b,c$ escritos en el pizarrón y en su turno Beto los borra y reescribe alguno de los números:
$$a+b-c, a-b+c, b+c-a$$
El juego termina cuando quedan solamente dos números y Ana no puede hacer su jugada. si la suma de los números que quedan al final es múltiplo de 3, Beto gana. En caso contrario, Ana gana. ¿Quién puede asegurar su victoria?
P5. Conjuntos infinitos iguales y uno en sucesión aritmética
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos de números reales positivos tales que:
- Para cualquier par de elementos $u \geq v$ de $A$, se cumple que $u+v$ es elemento de $B$
- Para cualquier par de elementos $s > t$ de $B$, se cumple que $s-t$ es un elemento de $A$
Prueba que $A=B$ o existe un número real $r$ tal que $B=\{2r, 3r, 4r, \dots \}$
