Problemas - Álgebra
Ejercicios sobre inducción matemática
El n-ésimo número triangular $T_{n}$ se define como la suma de los primeros $ n $ enteros.
¿Quién tiene más?
Dos vecinos juegan al "quién tiene más" (en varilla para la construcción):
A: Yo tengo 40 y tú 30.
B: Sí, pero las mías miden 4 metros más que las tuyas.
Dos números
Encontrar dos números tales que su suma, su producto y la diferencia de sus cuadrados son iguales entre sí.
Impares consecutivos
Dos impares consecutivos son tales que el doble del menor más el recíproco del mayor es 71/7. Encontrar esos números.
Comité deshonesto
El dinero (no declarado) de la colecta se va a repartir en partes iguales entre los miembros del comité (pro-viaje de estudios). Si fueran 3 miembros más les tocaría 25 pesos menos, y si fueran 2 menos les tocaría 25 pesos más. ¿Cuántos miembros son y cuánto se repartieron?
XXIIIOMM Problema 4
Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales distintos. Sea $ M $ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos de la expresión $s=\pm {a_1} \pm {a_2}\pm \ldots \pm {a_n}$ de manera que $m<s<M$.
XXIIIOMM Problema 3
Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que
$ \frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}\geq 1$ y que $ \frac {1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} \leq 1$
Un libro de regalo
Fui a la librería y me gustó un libro (Cómo ser feliz en 7 lecciones). Compré varios ejemplares para regalar en Navidad a mis amistades. Por eso la señorita me hizo un descuento de 10 pesos por cada copia. Pagué 1200 pesos. Sin ese descuento, con los 1200 hubiera comprado 4 libros menos.
Un problema de edades
Hace 10 años Jesús tenía la misma edad que Lourdes tiene ahora. Dentro de 7 años Madonna tendrá dos veces la edad de Jesús, aunque actualmente tiene 3 años más que cuatro veces la edad de Lourdes.
