XXIII OIM 2008

Problema

El juego de biribol

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:11.

En un partido de biribol se enfrentan dos equipos de cuatro jugadores cada uno. Se organiza un torneo de biribol en el que participan $n$ personas, que forman equipos para cada partido (los equipos no son fijos). Al final del torneo se observó que cada dos personas disputaron exactamente un partido en equipos rivales. Determinar para qué valores de $n$ es posible organizar un torneo con tales características.

Problema

Desigualdad con áreas de dos triángulos

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:10.

Sean $ABC$ un triángulo y $X,Y,Z$ puntos interiores de los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $A',B',C'$ los circuncentros correspondientes a los triángulos $AZY,BXZ,CYX$, respectivamente. Demuestre que:
$$(A'B'C')\geq (ABC)/4$$
y que la igualdad ocurre si y sólo si $AA',BB'$ y $CC'$ son concurrentes.

Nota: Para un triángulo cualquiera $RST$, denotamos su área con $(RST)$.

Problema

Ecuación sin soluciones enteras

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:09.

Pruebe que la ecuación $$x^{2008}+2008!=21^y$$ no tiene soluciones enteras $(x,y)$

Problema

Divisibilidad en un polinomio cúbico

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:08.

Sean $m$ y $n$ números enteros tales que el polinomio $P(x)=x^3+mx+n$ tiene la siguiente propiedad: si $x$ y $y$ son enteros y 107 divide a $P(x)-P(y)$, entonces 107 divide a $x-y$. Demuestre que divide a 107 divide a $m$.

Problema

Bisectriz externa en un escaleno

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:06.

Sean $ABC$ un triángulo escaleno y $l$ la bisectriz exterior del $\angle{ABC}$. Sean $P$  y  $Q$ los pies de las perpendiculares a la recta $l$ que pasan por $A$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ las intersecciones de $CP$ y $AB$ y $AQ$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que las rectas $AC,MN$ y $l$ tienen un punto en común.

Problema

Suma de max-min diferencias

Enviado por jmd el 10 de Enero de 2012 - 15:04.

Considere los números $1,2,3,\ldots,2008^2$ distribuidos en un tablero de $2008\times 2008$, de modo que en cada casilla haya un número distinto. Para cada fila y cada columna del tablero se calcula la diferencia entre el mayor y el menor de sus elementos. Sea $S$ la suma de los 4016 números obtenidos. Determine el mayor valor posible de $S$.

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