XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 4)

Enviado por jmd el 23 de Septiembre de 2009 - 14:00.
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Sea $ ABC $ un triángulo con $ AB\neq AC $.  Sean $ I $ el incentro de $ ABC $ y $ P $ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $ A $ con el circuncírculo de $ ABC $. La recta $ PI $ intersecta por segunda vez al circuncírculo de $ ABC $ en el punto $ J $. Demostrar que los circuncírculos de los triángulos $ JIB $ y $ JIC $ son tangentes a $ IC $ y a $ IB $, respectivamente.

Ver también: 
XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 1) (Problema)
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XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 2) (Problema)
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XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 3) (Problema)
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XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 5) (Problema)
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XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas (problema 6) (Problema)
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Comentarios

Imagen de darwinsigma

#1 Sale aplicando conocimientos

Enviado por darwinsigma el 24 de Septiembre de 2009 - 02:44.

Sale aplicando conocimientos de ángulos inscritos y semi-inscritos y algunos otros conocimientos de ángulos (como que la bisectrices interna y externa forman un ángulo de 90 grados). Bastante fácil de hecho.

Otra vez gracias por publicar los problemas.

Imagen de Luis Brandon

#2 Ok si este problema no es

Enviado por Luis Brandon el 24 de Septiembre de 2009 - 20:48.

Ok si este problema no es dificil sale con "cazeria de angulos" aqui va mi solucion...

Las relaciones entre los angulos son faciles de ver o faciles de probar...
$ \angle{BJP}=\angle{BCP}=\frac{1}{2}(180-\angle{BAC})=\frac{1}{2}(\angle{ABC}+\anlge{ACB})=\angle{CAP}=\angle{CJP} $

$ \angle{PBI}=\angle{CBP}-\angl{CBI}=\frac{1}{2}(\angle{ABC}+\anlge{ACB}-\angle{ABC})=\frac{1}{2}\angle{ACB}=\angle{ICB} $ de manera similar se prueba que $ \angle{CBI}=\angle{ICP} $

$ \Rightarrow\angle{BIJ}=\angle{IBP}+\angle{BPJ}=\angle{BCJ}+\angle{ICB}=\angle{ICJ} $

Lo cual implica que el circuncirculo del triangulo $ CIJ $ es tangente a $ BI $(por que?)

$ \Rightarrow\angle{CIJ}=\angle{CPJ}+\angle{ICP}=\angle{CBJ}+\angle{CBI}=\angle{IBJ} $

Lo cual implica que el circuncirculo del triangulo $ BIJ $ es tangente a $ CI $

Rapido, bonito, facil y sin trazos auxiliares  saludos

 

La Geometria es el arte de pensar bien y dibujar mal...hahaha resolviendo con figuras falsas ahha brandoowin@hotmail.com
Imagen de jmd

#3 Un poco tardío pero MaTeTaM

Enviado por jmd el 25 de Septiembre de 2009 - 07:06.

Un poco tardío pero MaTeTaM le da las gracias a Darwinsigma por su pequeña colaboración:

Gracias a tí por las sugerencias Darwinsigma, pues te tomaste la molestia de registrarte en MaTeTaM para hacer tu pequeña y valiosa colaboración. De vez en cuando échales una mano a estos muchachos tamaulipecos aficionados a las matemáticas...

Te saluda
jmd

PD: ...Y también a Brandon y a Fernando y a Casanova... MaTeTaM se congratula por el reconocimiento de la comunidad de usuarios aficionados a las matemáticas de concurso manifestada en más de 500 visitas diarias...

José Muñoz Delgado