Problemas - Teoría de números
P3 OMM 2002. Residuos cuadráticos (módulo 4)
Sean $n$ un entero positivo. ¿Tiene $n^2$ más divisores positivos de la forma $4k+1$ o de la forma $4k-1$?
Problema 3, IMO 2010
Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Determine todas las funciones $g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que $$\left( g(m) + n\right) \left(m + g(n) \right) $$
es un cuadrado perfecto para todo $m, n \in \mathbb{N}$.
P4 OMM 2001. Lista de residuos cuadráticos
Dados dos enteros positivos $n$ y $a$, se forma una lista de 2001 números como sigue:
- el primer número es $a$;
- a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir al cuadrado del anterior entre $n$.
A los números de la lista se les ponen los signos $+$ y $-$, alternadamente
empezando con $+$. Los números con signo así obtenidos se suman, y a esa suma se le llama suma final para $n$ y $a$.
¿Para qué enteros $n \geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2 \leq a \leq n/2$, y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?
P1 OMM 2001. Múltiplos de 3 y 7 con dígitos 3 o 7
Encuentra todos los números de 7 dígitos que son múltiplos de 3 y de 7,
y cada uno de cuyos dígitos es 3 o 7.
P2 OMM 1999. Primos en sucesión aritmética
Demuestre que no existen 1999 primos en progresión aritmética, todos ellos menores que 12345. (Nota: Una colección de números está en progresión aritmética si es de la forma $a, a+r, a+2r,\ldots, a+br.$)
P1 OMM 1997. Primo función de un primo
Encuentre todos los números primos positivos $p$ tales que $8p^4 - 3003$ también es un primo positivo.
P4 OMM 1996. Ocho distintos múltiplos de n
¿Para qué enteros $n \geq 2$ se pueden acomodar los números del 1 al 16 en los cuadros de una cuadrícula de $4×4$ (un número en cada cuadro, sin repetir números) de tal manera que las 8 sumas de los números que quedan en cada fila y en cada columna sean múltiplos de $n$, y que estos 8 múltiplos sean todos distintos entre sí?
P6. OMM 1993. El siguiente del producto de 4 consecutivos
Sea $f(x) = x(x+1)(x+2)(x+3)+1$ y $p$ un número primo impar. Pruebe
que existe un entero $ n $ tal que $p$ divide a $f(n)$ si y sólo si existe un entero
$m$ tal que $p$ divide a $m^2 - 5$.
P4 OMM 1992. Suma de potencias múltiplo de 100
Muestre que $100$ divide a la suma de potencias $$1+11^{11}+111^{111}+\ldots+1111111111^{1111111111}$$
P2 OMM 1992. Cuartetas y múltiplos de un primo
Sea $p$ un número primo, diga cuántas cuartetas distintas $(a, b, c, d)$ existen, con a, b, c y d enteros y $0 \leq a, b, c, d \leq p-1$, tales que $ad - bc$ sea múltiplo de $p$.