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Problema

Problema de Teoría de Números

Enviado por Alexander Israe... el 26 de Enero de 2016 - 12:26.
Resolver la ecuación $x^{3}=3^{y}7^{z}+8$ para enteros positivos $x, y, z$.
Noticia

Calendario Dodecaédrico con Origami 2016

Enviado por vmp el 20 de Enero de 2016 - 12:01.

Para hacer el calendario sólo tienen que descargar, imprimir, doblar y armar.  Aquí está el video con las intrucciones de armado que hicimos para la versión 2010.

Discusión

Problema áreas

Enviado por carlosrios el 14 de Diciembre de 2015 - 15:33.

Gracia por tu respuesta.

Sí, realmente es a la misma conclusion a la que yo he llegado porque resulta un triangulo rectangulo 3-4-5, despues de intentar multiples posibilidades, Mi duda realmente radica en que encontre el problema planteado en un texto clasico de geometria euclidiana (Elementos geometria plana por una reunion de profesores) en el cual no se usan las funciones trigonometricas para nada ( ni se mencionan) como debe serlo en esta área de la geometría.

Debido  a lo anterior se me ha ocurrido  y he intentado buscar relaciones entre algunas de las áreas en que se puede subdividir el problema, pero llego a un sitema de seis variables con cinco ecuaciones, que no me permite encontrar la relacion requerida.

Discusión

Calculo de area

Enviado por carlosrios el 11 de Diciembre de 2015 - 17:06.

Es posible calcular el área sombreada solo en funcion de R(no deben aparecer mas variables, como por ejemplo ángulos), por medio de relaciones geométricas, sin usar las funciones trigonométricas, ni integracion.

 

Entrada de blog

Sobre el problema 1 de la 29 OMM

Enviado por jmd el 28 de Noviembre de 2015 - 15:00.

El problema

Sea $ABC$ un triángulo y sea $H$ su ortocentro. Sea $PQ$ un segmento que pasa por $H$ con $P$ en $AB$, $Q$ en $AC$ y tal que $\angle PHB=\angle CHQ$. Finalmente en el ciruncírculo del triángulo $ABC$ considera $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Muestra que $MP=MQ$.

La solución

De acuerdo a los datos sobre la recta PQ que pasa por H, es fácil darse cuenta que PQ es bisectriz de los ángulos formados en H por las alturas.

Problema

Problema 6. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 25 de Noviembre de 2015 - 13:57.
Sea $n$ un entero positivo y sean $d_1,d_2, \ldots , d_k$ todos sus divisores positivos ordenados de menor a mayor. Considera el número $$f(n)=(-1)^{d_1}d_1+(-1)^{d_2}d_2+\ldots+(-1)^{d_k}d_k.$$
Por ejemplo, los divisores positivos de 10 son $1,2,5$ y $10$, así que $$f(10)=(-1)^{1}\cdot 1+(-1)^{2}\cdot 2+ (-1)^{5}\cdot 5 +(-1)^{10}\cdot 10=6.$$
Supón que $f(n)$ es una potencia de $2$. Muestra que si $m$ es un entero mayor que $1$, entonces $m^2$ no divide a $n$.
 
Problema

Problema 5. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 25 de Noviembre de 2015 - 13:52.

Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La recta $AI$ corta por segunda vez al circuncírculo del triángulo $BIC$ en $E$. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ y $J$ la reflexión de $I$ con respecto a $BC$. Muestra que los puntos $D$, $J$ y $E$ son colineales.

 

 

Problema

Problema 4. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 25 de Noviembre de 2015 - 13:47.
Sea $n$ un entero positivo. María escribe en un pizarrón las $n^3$ ternas que se pueden formar tomando tres enteros, no necesariamente distintos, entre $1$ y $n$, incluyéndolos. Después, para cada una de las ternas, María detetermina el mayor (o los mayores, en caso de que haya más de uno) y borra los demás. Por ejemplo, en la terna $(1,3,4)$ borrará los números $1$ y $3$, mientras que en la terna $(1,2,2)$ borrará sólo el número $1$.
 
Muestra que, al terminar este proceso, la cantidad de números que quedan escritos en el pizarrón no puede ser igual al cuadrado de un número entero.
Problema

Problema 3. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 24 de Noviembre de 2015 - 12:23.
Sea $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \ldots \}$ el conjunto de los números enteros positivos. Sea $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ una función, la cual asigna a cada número entero positivo, un número entero positivo. Supón que $f$ satisface las siguientes condiciones:
  1. $f(1)=1$
  2. Para todos $a,b$ enteros positivos, se cumple que
    $$f(a+b+ab)=a+b+f(ab)$$
    3. .
Encuenta el valor de $f(2015)$
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Problema 2. 29a Olimpiada Mexicana de Matemáticas

Enviado por vmp el 24 de Noviembre de 2015 - 12:15.

Sean $n$ un entero positivo y $k$ un entero entre $1$ y $n$. Se tiene un tablero de $n \times n$ color blanco. Se hace el siguiente proceso. Se dibujan $k$ rectángulos con lados de longitud entera, con lados paralelos a los del tablero y tales que su esquina superior derecha coincide con la del tablero. Luego, estos $k$ rectángulos se rellenan de negro. Esto deja una figura blanca en el tablero. ¿Cuántas figuras blancas diferentes podemos obtener, que no se puedan obtener haciendo el proceso con menos de $k$ rectángulos?

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