Intermedio

Determine todas las ternas de números reales $(x, y, z)$ que satisfacen el siguiente
sistema de ecuaciones:
$$xyz = 8,$$
$$x^2y + y^2z + z^2x = 73,$$
$$x(y - z)^2 + y(z - x)^2 + z(x - y)^2 = 98.$$

Los números enteros del 1 al 2002, se escriben en una pizarra en orden creciente 1, 2, . . . , 2001, 2002. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma $3k + 1$. En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma $3k +1$. Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?

Halle todos los enteros positivos menores que 1000 y tales que el cubo de la suma de sus dígitos es igual al cuadrado de dicho entero.

Un polígono convexo de $n$ lados se descompone en $m$ triángulos, con sus interiores disjuntos, de modo que cada lado de esos $m$ triángulos lo es también de otro triángulo contiguo o del polígono dado. Probar que $m + n$ es par. Conocidos $n$ y $m$ hallar el número de lados distintos que quedan en el interior del polígono y el número de vértices distintos que quedan en ese interior.

Con 21 fichas de damas, unas blancas y otras negras, se forma un rectángulo de $3\times7$. Demostrar que siempre hay cuatro fichas del mismo color situadas en los vértices de un rectángulo.

Una oficina de Turismo va a realizar una encuesta sobre el número de días soleados y el número de días lluviosos que se dan en el año. Para ello recurre a seis regiones que le transmiten los datos de la siguiente tabla:

 El ángulo $A$ del triángulo isósceles $ABC$ mide 2/5 de recto, siendo iguales sus ángulos $B$ y $C$. La bisectriz de su ángulo $C$ corta al lado opuesto en el punto $D$. Calcular las medidas de los ángulos del triángulo $BCD$. Expresar la medida $a$ del lado $BC$ en función de la medida $b$ del lado $AC$, sin que en la expresión aparezcan razones trigonométricas

Demostrar que si entre los infinitos términos de una progresión aritmética de números enteros positivos hay un cuadrado perfecto, entonces infinitos términos de la progresión son cuadrados perfectos.

 Demostrar que para todo número primo $p$ distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de $p$ de la forma 1111...1 (escrito sólo con unos).

Justificar razonadamente que, en cualquier triángulo, el diámetro de la circunferencia inscrita no es mayor que el radio de la circunferencia circunscrita.