Intermedio

En un tablero de 2013 × 2013 se han coloreado k casillas de negro y las demás de blanco, de tal manera que no hay tres casillas negras formando un trimino en ”L”y que al pintar cualquier otra casilla de negro se forma un trimino en ”L” de puras ca

En Culiacán tienen un juego de billar con mesas que tienen la forma de triángulo equilátero --cuyos lados miden 2 metros. El campeón de este juego es capaz de realizar un tiro de manera que la bola empieza en un vértice y, después de rebotar exactamente una vez en cada uno de los lados de la mesa, termina en otro vértice. Los rebotes en los lados de una mesa son tales que el ángulo de entrada es igual al ángulo de salida. Calcula la distancia que recorre la bola de billar al realizar ese trayecto.

Una pareja de enteros positivos $a$ y $b$ se llaman sinaloenses si $20a+13b=2013$ y $a+b$ es un múltiplo de 13. Encuentra todas las parejas sinaloenses.

Sea $ABC$ un triángulo tal que sus ángulos $B$ y $C$ miden 100 y 62 grados, respectivamente. Sobre los lados $AB$ y $AC$ se toman los puntos $M$ y $N$, respectivamente, tales que $\angle{MCB}=52, \angle{NBC}=80$. Obtén la medida de $\angle{CMN}$

Demuestra que no existen soluciones enteras y positivas para la ecuacion $3^{m}+3 ^{n}+1=t^{2}$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Encontrar un punto $M$ en $BC$ (mostrar el procedimiento con prueba) de tal manera que $AM$ divida al cuadrilátero $ABCD$ en dos regiones de igual área.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles rectángulo en $C$. Si $D$ es el punto medio de $BC$ y la perpendicular a $AD$ por $C$ corta a $AB$ en $E$, demostrar que los ángulos $ADC$ y $EDB$ tienen la misma medida.

Sea $D$ un punto en el lado $CA$ del triángulo $ABC$ de tal manera que $AB=CD$. Si $E,F$ son puntos medios de $AD,BC$, respectivamente, y $M$ es la intersección de de $AB$ y $FE$, demostrar que $AM=AE$.

Sean $CBD$ un triángulo y $A$ un punto en la prolongación del lado $BC$ con $C$ entre $A$ y $B$. Sean $M,N,P$ los puntos medios de los segmentos $AB,CD,DB$, respectivamente. Demostrar que si $Q$ es el punto medio de $MN$ y $E$ es el punto de intersección de $PQ$ y $AB$, entonces $E$ es el punto medio de $AC$.

Sean $W_1$ y $W_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, que se intersectan en los puntos $A$ y $B$. El punto $C$ está sobre $W_1$ y es diametralmente opuesto a $B$. Las rectas $CB$ y $CA$ cortan de nuevo a $W_2$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente, donde el punto $B$ está entre $C$ y $Q$. Las rectas $O_1A$ y $PQ$ se intersectan en el punto $R$. Si la medida del ángulo $PBQ$ es el triple que la del ángulo $PCQ$, demuestra que $AO_1=AR$