Intermedio

Sea dado un segmento fijo $AB$ y considérense todos los paralelogramos $ABCD$ formados con el lado $AB$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $P$ la proyección de $A$ sobre la recta $DM$. Determinar el lugar geométrico descrito por $P$ al mover el lado $CD$.

Encontrar el lugar geométrico de un punto $P$ que se mueve de tal manera que permanece equidistante de un punto fijo $F$ y una recta fija $d$.

 En un triángulo $ABC$, los puntos $M$ en $CA$ y $N$ en $BC$ se mueven de tal manera que $AM=BN$. Describir el lugar geométrico del punto medio $P$ de $MN$.

Un tren de pasajeros parte de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas. Después de 6 horas de viaje, el tren se detiene durante 2 horas debido a la acumulación de nieve en la vía. Después de esas  2 horas, el tren prosigue su viaje hacia la estación $B$, pero ahora con una velocidad 20 porciento mayor que la que mantuvo antes (la velocidad normal). Aún así, llegó a la estación $B$ con una hora de retraso. Al día siguiente, otro tren sale de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas y también tuvo que parar durante 2 horas, pero en un punto alejado de $A$ 150 km más que donde paró el primer tren.

Un joven colega de von Neumann le planteó a éste (en un cocktail party del MIT) el siguiente problema: 

Construir un triángulo dados un lado, la altura de uno de los vértices del lado dado (respecto a uno de los otros dos), y el radio de la circunferencia circunscrita.

 Demuestra que, para un triángulo no equilátero, el circuncentro, el gravicentro y el ortocentro están sobre una misma recta.

 Demostrar que, en cualquier triángulo, el punto simétrico del ortocentro respecto a un lado es un punto del circuncírculo.

 Sea $n$ un entero positivo. En una cuadrícula $ n\times 4 $, cada renglón es igual a

Un cambio es tomar tres casillas

1. consecutivas en el mismo renglón y
2. con dígitos distintos escritos en ellas

y cambiar los tres dígitos de estas casillas de la siguiente manera

0 → 1,         1 → 2,        2→0

Encuentra todas las ternas de números naturales $ (a,b,c) $ que cumplan la ecuación $ abc=a+b+c+1 $.