Intermedio

En cada una de las caras de un cubo, se escribe un numero entero positivo, y en cada vértice se escribe el producto de los números de las 3 caras adyacentes a ese vértice. Si la suma de los números en los vértices es 105.  ¿Cuánto vale la suma de los números en todas las caras?

Hay 3 equipos, cada uno de ellos con 3 personas. Se quieren  sentar alrededor de una mesa redonda con sillas numeradas del 1 al 9. ¿De cuantas formas se pueden sentar las 9 personas en las sillas, de tal manera que cualesquiera dos personas consecutivas del mismo equipo esten separados entre si por la misma cantidad de sillas?

Demuestre que sin importar que numeros enteros naturales sean $m$ y $n$, el numero  $mn ( m + n ) ( m - n )$ es divisible por 3.

ABCD es un cuadrado, el punto E esta en el lado BC. BD y AE se intersectan en el punto F. Con centro en el punto F y radio FA se traza una circunferencia que intersecta al lado CD en el punto G. Calcula el valor del angulo GFE y demuestra que el triangulo GFC  es isisceles.

Utilizando los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 se quieren armar conjuntos que tengan dos o mas de esos números, sin repetición, de modo que si se multiplican todos los números del conjunto, el resultado que se obtiene es múltiplo de 4 pero no es múltiplo de 8.

¿Cuántos de estos conjuntos se pueden armar ?

Las diagonales de un cuadrilátero convexo dividen a éste en cuatro triángulos. Demostrar que sus baricentros forman un paralelogramo.

Demostrar que un punto $P$ en el interior de un triángulo acutángulo $XYZ$ es el ortocentro de éste si y sólo si 

• $XP$ es perpendicular a $YZ$, y 
• el reflejo de $P$ en el lado $YZ$ pertenece al circuncírculo de $XYZ$.

Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$. Los rayos $AP,BP,CP$ cortan los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $D,E,F$, respectivamente. Demostrar que 

Sean dados dos segmentos $AB$ y $PQ$, y suponga que los segmentos o sus prolongaciones se cortan en el punto $M$. Demostrar que la razón de las áreas de los triángulos $ABP$ y $ABQ$ es igual a la razón de las distancias de $P$ a $M$ y de $Q$ a $M$.

Encuentra todos los enteros positivos $p$, $q$ y $r$, con $p$ y $q$ números primos, que satisfacen la igualdad:

$$\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1} - \frac{1}{(p+1)(q+1)} = \frac{1}{r}$$