Intermedio

Los ángulos en la base $BC$ del isósceles $ABC$ miden 40 grados. El lado $AB$ se prolonga hasta el punto $D$ de manera que $B$ quede entre $A$ y $D$ y $AD=BC$. ¿Cuánto mide el ángulo $BCD$?

Demostrar que para $n$ entero no negativo, la función $f(n)=4^{2^n}+2^{2^n}+1$ es múltiplo de 7.

Sean $D,E$ puntos en el exterior del triángulo $ABC$ tales que los triángulos $ABD$ y $ACE$ son isósceles rectángulos en $D$ y $E$, respectivamente. Demostrar que si $F$ es punto medio de $BC$, entonces el triángulo $DEF$ es isósceles rectángulo en $F$

Sea $M$ un punto en el arco $AB$ del circuncírculo del triángulo equilátero $ABC$. Demostrar que $AM+MB=MC$.

Encontrar todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $2^x+1=y^2$

Sean $a, b, c$ números reales positivos que satisfacen $a+b+c = 1$.
Muestra que: $$\sqrt{a + bc} + \sqrt{b + ca} + \sqrt{c + ab}\leq 2.$$

Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano que cumplan $\angle{APB} = \angle{BPC}$.

Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$, hay 10 números consecutivos, pero no 11.

Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y, $AD, BE$ y $CF$ sus alturas. La circunferencia con diámetro $AD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $AD$ con $EF$ y $MN$, respectivamente. Demuestra que $Q$ es el punto medio de $PD$.