Intermedio

Demuestre que no existen 1999 primos en progresión aritmética, todos ellos menores que 12345. (Nota: Una colección de números está en progresión aritmética si es de la forma $a, a+r, a+2r,\ldots, a+br.$)

Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuántas con el lado rojo hacia arriba ni cuántas con el lado negro hacia arriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada persona, en su turno, hace una de las siguientes cosas:

• Retirar cualquier número de fichas, con la condición de que todas las fichas retiradas tengan el mismo color hacia arriba.
• Voltear cualquier número de fichas, con la condición de que todas las
  fichas tengan el mismo color hacia arriba.

Gana el que toma la última ficha. ¿Cuál jugador puede asegurar que ganará, el primero en jugar o el segundo?

Sean $ABC$ un triángulo, $\gamma$ su circunferencia circunscrita (circuncírculo), y $P$ un punto sobre $\gamma$. Demostrar que los pies de las perpendiculares bajadas desde $P$ a los lados del triángulo (o su prolongación) son colineales.

Sean $B$ y $C$ dos puntos de una circunferencia, y $AB$ y $AC$ las tangentes
desde un punto $A$. Sea $Q$ un punto del segmento $AC$ y $P$ la intersección de $BQ$ con la circunferencia. La paralela a $AB$ por $Q$ corta a $BC$ en $J$. Demuestre que $PJ$ es paralelo a $AC$ si y sólo si $BC^2 = AC \cdot QC$.

Encuentre todos los enteros que se escriben como $$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\ldots+\frac{9}{a_9}$$ donde $a_1, a_2, \ldots , a_9$ son dígitos distintos de cero que pueden repetir.

Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que $1900 \rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1$. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.

Encuentre todos los números primos positivos $p$ tales que $8p^4 - 3003$ también es un primo positivo.

¿Para qué enteros $n \geq 2$ se pueden acomodar los números del 1 al 16 en los cuadros de una cuadrícula de $4×4$ (un número en cada cuadro, sin repetir números) de tal manera que las 8 sumas de los números que quedan en cada fila y en cada columna sean múltiplos de $n$, y que estos 8 múltiplos sean todos distintos entre sí?
 

Sea $ABCD$ un cuadrilátero y sean $P$ y $Q$ los puntos de trisección de la diagonal $BD$ (es decir, $P$ y $Q$ son puntos del segmento $BD$ para los cuales las longitudes $BP, PQ$ y $QD$ son todas iguales). Sean $E$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $P$ con el segmento $BC$, y  $F$ la intersección de la recta que pasa por $A$ y $Q$ con el segmento $DC$. Demuestra lo siguiente:
1. Si $ABCD$ es un paralelogramo, entonces $E$ y $F$ son los respectivos puntos medios de los segmentos $BC$ y $CD$.
2. Si $E$ y $F$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente, entonces $ABCD$ es un paralelogramo.

En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a éstos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?