Números

Un empresario tiene que distribuir todas sus ganancias de los siguientes tres meses entre tres padrinos (después de eso queda liberado de los favores recibidos en forma de contratos).

Sean $p$ y $q$ números primos con $p^2$ menor que $q$. Encontrar todos los enteros positivos $n$ tales que al sumar $p^2q$ a su cuadrado el resultado es un cuadrado.
 

Sean n un entero positivo, demostrar que si $$2^n-1$$ es un número primo, entoces $n$ también es primo.

Considere los números 84 y 36. Si sus dígitos se invierten tenemos los números 48 y 63. Pues sucede que el producto de cada uno de esos pares de números es 3024.

Tres jugadores, $A, B, C$, utilizan tres cartas para jugar. Es cada una de ellas está escrito un número entero positivo y todos son diferentes, digamos $p, q, r$ en orden creciente.

Si $m, n$ son enteros positivos que cumplen la ecuación $m^n+m^{n+1}+m^{n+2}=39$ encuentra sus valores (todos los posibles).

El siguiente juego de canicas involucra un sólo jugador. Se ponen muchas canicas en una caja.

Encuentra todos los números primos $p,q, r$ con $p$<$ q$ <$r$ , que cumplan
con $25pq+ r= 2004$ y que $pqr+ 1 $ sea un cuadrado perfecto

Demostrar que en cualquier terna pitagórica primitiva $a^2+b^2=c^2$, exactamente dos de los números $a, b, c$ son impares. (Primitiva significa sin divisores en común.)

Demostrar que en cualquier terna pitagórica $a^2+b^2=c^2$,  al menos uno de los números a, b, c es divisible entre 5.