Números

Demostrar que no existen $a$ y $b$ >2, enteros positivos, para los cuales: $2^b-1$ divide $2^a+1$

Ximena y Yadira participan en un maratón: el recorrido es del punto $A$ al $B$ y de regreso de $B$ a $A$. La distancia entre $A$ y $B$ es de $p^2qr$ km, con $p,q,r$ primos en orden creciente.

Las fotos liberadas en la prensa española develaron el secreto del culto contemporáneo a Vesta. Vesta era la diosa del hogar, y es conocida más por sus sacerdotisas, quienes se encargaban de mantener encendido el fuego sagrado, símbolo de la prosperidad de la antigua Roma.

Dominguito Siete se reune cada domingo con sus amigos y lleva tazos de Pokemon. Cuando el número de tazos es múltiplo de 7, los reparte a partes iguales entre  sus 6 amigos y él. De otra manera no reparte, sino que compra más tazos (durante la semana): si el número de tazos es impar, compra 7; y si es par, compra 6 veces la cantidad que tiene más otros 5. Si después de 2 domingos de reunirse con sus 6 amigos, se da cuenta que tiene 41 tazos. ¿Cuántos tenía inicialmente?

¿Cuántos números $abcd$ de 4 dígitos distintos, múltiplos de 36 y menores que 4000 son tales que el producto de $ab$ por $cd$ es múltiplo de 7? Nota: el número 1980 $(a=1, b=9,c=8,d=0)$ es menor que 4000, es múltiplo de 36 y es de dígitos distintos, pero no cumple la condición de que $19\cdot{80}$ sea múltiplo de 7.

Encontrar todos las parejas de enteros positivos $(x, y)$ que sean solución de la ecuación diofantina $20x+9y=2009$, y que además sean cuadrados perfectos consecutivos. Nota: $(x,y)=(100,1)$ y $(x,y)=(1,221)$ son soluciones de la ecuación diofantina pero no cumplen la condición.
 

Demostrar las siguientes propiedades del máximo común divisor de dos números $a$ y $b.$ Nota: hay dos formas usuales de notación para el máximo común divisor, MCD$(a,b)$ o simplemente $(a,b)$.

Demostrar que $n^2-1$ es múltiplo de 8 para cualquier $ n $ impar no negativo.

Encontrar todas las parejas $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación diofantina $x^3+y^3=4(x^2y+xy^2)+1.$

Encontrar todas las parejas $(a,b)$ de enteros positivos para los cuales el producto $(a^4+1)(b^2-1)$ es divisible entre 39 pero sus factores $(a^4+1)$ y $(b^2-1)$ no.